El Criterio de Kelly

Has encontrado una ventaja real. Una moneda que sale cara el 60% de las veces y paga a la par; una mesa de blackjack que puedes contar; una apuesta mal valorada donde las probabilidades verdaderas están a tu favor. La pregunta difícil no es si apostar —por supuesto que apuestas, la ventaja es real— sino cuánto. Apuesta muy poco y toda una vida de decisiones acertadas apenas mueve tu patrimonio. Apuesta demasiado y puedes ganar mucho más a menudo de lo que pierdes y aun así arruinarte, barrido por una racha de mala suerte que siempre ibas a sufrir tarde o temprano. En algún punto entre lo tímido y lo temerario existe un único tamaño de apuesta que hace crecer tu dinero más rápido que cualquier otro. Encontrarlo es todo el juego, y la respuesta es más sorprendente —y más humillante— de lo que la mayoría de los jugadores llega a imaginar.

La trampa que arruina a la gente es sutil, y se esconde dentro de la expresión “valor esperado” (expected value). Maximiza el resultado medio de una apuesta favorable y las matemáticas gritan apuéstalo todo, siempre — porque en cualquier ronda concreta, más apuesta significa más beneficio esperado. Pero tú no vives de la media de mil universos paralelos; vives de una secuencia de apuestas, multiplicadas entre sí. El patrimonio se capitaliza de forma multiplicativa, y en un proceso multiplicativo la media de todos los futuros posibles (la media de conjunto, ensemble average) es una fantasía arrastrada hacia arriba por un puñado de trayectorias astronómicamente afortunadas, mientras que el futuro que tú experimentas de verdad (la media temporal, time average) decae silenciosamente hacia cero. Esta es la brecha de ergodicidad (ergodicity gap), y es la razón por la que “maximizar el patrimonio esperado” es exactamente el objetivo equivocado. El correcto es maximizar la tasa de crecimiento de una única trayectoria típica — que resulta ser maximizar el logaritmo esperado (expected logarithm) del patrimonio.

Haz esas cuentas y sale una regla limpia y memorable. Llama $p$ a tu probabilidad de ganar, $q = 1 - p$ a tu probabilidad de perder, y $b$ a tus probabilidades netas de pago (net odds) (una apuesta ganadora devuelve $b$ veces lo apostado). La fracción de tu capital que maximiza el crecimiento es $f^* = \frac{pb - q}{b} = p - \frac{q}{b}.$ En palabras llanas: apuesta tu ventaja dividida por las probabilidades, donde tu ventaja (edge) es $pb - q$. Para una apuesta a la par ($b = 1$) se reduce a $f^* = 2p - 1 = p - q$ — literalmente apuesta tu ventaja. ¿La moneda 60/40? $f^* = 0{,}6 - 0{,}4 = 0{,}20$: apuesta exactamente el 20% de tu capital cada ronda, ni más ni menos. ¿Una apuesta que paga 2 a 1 y que ganas la mitad de las veces? $f^* = 0{,}5 - 0{,}5/2 = 0{,}25$, o el 25%. No es una corazonada, ni un nivel de nervio — es un número.

¿Por qué no apostar más que Kelly, si la ventaja es real? Porque el crecimiento a largo plazo en función del tamaño de apuesta es una joroba (hump), no una rampa. Dibuja la tasa de crecimiento frente a la fracción apostada y sube desde cero, alcanza su pico exactamente en $f^*$, y luego —esta es la parte que mata a la gente— vuelve a caer a cero alrededor de $2f^*$ y se vuelve negativa más allá. En la moneda 60/40, apostar el 20% de Kelly hace crecer tu dinero alrededor de +2,0% por ronda; doblarlo al 40% arrastra el crecimiento de vuelta a cero; apostarlo todo garantiza la ruina eventual con probabilidad uno. Sobreapostar no te compra crecimiento extra a cambio de riesgo extra — pasado el pico te compra menos crecimiento y más riesgo, y pasado $2f^*$ convierte tu ventaja real y positiva en una bancarrota a cámara lenta. Un jugador ganador puede apostar hasta arruinarse. Esa es la lección más oscura y más importante del criterio.

La joroba es también la razón por la que el profesional honesto apuesta menos que Kelly, no más. La curva de crecimiento está suavemente redondeada cerca de su pico pero se desploma bruscamente pasado él, así que equivocarse por lo bajo es barato y equivocarse por lo alto es catastrófico — las consecuencias son tremendamente asimétricas. Y nunca conoces de verdad tu $p$ ni tu $b$; todo el mundo sobreestima su ventaja, y una ventaja sobreestimada empuja al Kelly completo hacia el lado ruinoso de la joroba. El remedio estándar es el Kelly fraccional (fractional Kelly): apuesta la mitad de la fracción de Kelly (o menos). El medio Kelly conserva aproximadamente el 75% del crecimiento por alrededor de la mitad de la volatilidad — y las caídas del Kelly completo son lo bastante brutales (una probabilidad de cara-o-cruz de que tu capital llegue a reducirse a la mitad en algún momento) como para que casi ningún humano ni institución pueda soportar la dosis sin diluir. El Kelly fraccional es un margen de seguridad atornillado a una fórmula que supone una certeza que jamás tendrás.

La idea se remonta a John Kelly Jr., un físico de los Laboratorios Bell que en 1956 —inspirado por la teoría de la información de su colega Claude Shannon— publicó “A New Interpretation of Information Rate” y, casi como una nota al pie, la fracción de apuesta óptima para el crecimiento. Quedó en gran medida ignorada hasta que Ed Thorp la llevó desde las mesas de blackjack de Las Vegas hasta Wall Street, dirigiendo el fondo de inversión Princeton-Newport con un dimensionamiento de posiciones al estilo Kelly. Maneja el modelo con la humildad que exige, eso sí: supone que conoces las probabilidades verdaderas (no las conoces), es indiferente a la volatilidad a corto plazo y a los horizontes finitos que a la gente real sí le importan mucho, necesita apuestas repetidas, independientes y divisibles para funcionar siquiera, y —lee esto dos veces— no es una licencia para apostar en grande. Su enseñanza más profunda es lo fácilmente que un jugador con una ventaja real acaba en la ruina. Primero la supervivencia; después el crecimiento. Apuesta tu ventaja, y respeta la varianza.