La moneda que te arruina

De vuelta a la moneda trucada. Sale cara el 60% de las veces y paga a dinero parejo (even money): arriesga una fracción de tu capital, gana esa cantidad si sale cara, piérdela si sale cruz. Puedes jugar tanto tiempo como quieras. Esta es una buena apuesta — genuina y demostrablemente a tu favor — y voy a enseñarte que la forma «obvia» de explotarla, la que literalmente maximiza tu riqueza esperada, va a arruinar a casi todos los que lo intenten. No por mala suerte. Por diseño.

Esa frase debería sonar mal. ¿Una apuesta favorable y una estrategia maximizadora de riqueza que te arruina? Sin duda, si un plan hace crecer tu fortuna media, ¿hace crecer tu fortuna? Pues no, y la razón es una de las ideas más importantes y menos intuitivas de todo el asunto de asumir riesgos. La media de muchos apostadores no es la experiencia de un apostador a lo largo del tiempo. Esta lección desmonta esa idea sobre nuestra moneda, y la reparación — maximizar el log de la riqueza — es la base sobre la que se construye el resto del curso.

La apuesta que es brillante sobre el papel

Concretemos el margen. Arriesga una fracción $f$ de tu capital en cada tirada. Gana (probabilidad $p = 0.6$) y tu riqueza se multiplica por $1 + f$; pierde (probabilidad $q = 0.4$) y se multiplica por $1 - f$. El multiplicador esperado para una ronda es:

$E[\text{factor}] = p(1 + f) + q(1 - f) = 1 + f(p - q) = 1 + 0.2f.$

Lee esa fórmula. Es una línea recta que sube con $f$. Cuanto más apuestas, más alta es tu riqueza esperada tras la ronda — sin pico, sin trampa, sin rendimientos decrecientes a la vista. Empuja $f$ hasta el 1 (apuéstalo todo) y la maximizas: tu riqueza esperada crece un gordo 20% por ronda. Por la lógica del valor esperado — la misma lógica que te dice correctamente que aceptes una apuesta con valor esperado positivo (+EV) en primer lugar — deberías apostar todo, cada vez.

Todo en esta tabla dice apuesta más. Y cada celda es verdad. La riqueza esperada realmente se maximiza en $f = 1$. La trampa no está en la aritmética — está en la suposición silenciosa de que la «riqueza esperada» es lo que deberías valorar. Observa cómo se desmorona.

Por qué apostarlo todo es una sentencia de muerte

Sigue a un único jugador que lo apuesta todo. Ronda uno, saca cara: el capital se dobla. Ronda dos, cara otra vez: se dobla de nuevo. Esto puede seguir un rato emocionante. Pero aquí la riqueza es multiplicativa — cada ronda multiplica a la anterior — y el factor de pérdida es $1 - f = 1 - 1 = \mathbf{0}$. La primera vez que este jugador vea cruz, su capital se multiplica por cero. No abollado. Puesto a cero. Y aquí está la crueldad del interés compuesto: cero por cualquier cosa es cero, para siempre. Ninguna racha ganadora futura, por larga que sea, puede levantar un capital de $0 de vuelta por encima de $0. No hay camino de regreso desde la ruina.

Ahora pregúntate cómo de probable es esa cruz fatal. La probabilidad de nunca sacar cruz en $n$ rondas es $0.6^n$ — que se colapsa deprisa:

Juega lo suficiente y la probabilidad de supervivencia corre hacia cero. La estrategia que maximiza tu riqueza media te arruina con probabilidad que tiende a 1. Ambas afirmaciones son verdad a la vez, y no están en contradicción — solo miden cosas distintas. La media está apuntalada por completo por la porción evanescente de jugadores que tienen una suerte imposible; el jugador típico — el mediano, el del medio del pelotón — está completamente arruinado.

Dos medias que discrepan: conjunto frente a tiempo

Hemos venido diciendo «media» a la ligera. En realidad hay dos medias, y la lección entera es que en una apuesta multiplicativa discrepan.

• La media del conjunto (ensemble average, media aritmética) es lo que obtienes alineando a una multitud enorme de jugadores que apuestan una vez cada uno, y promediando su riqueza a través de la multitud. Esto es $E[\text{riqueza}]$, y para nuestra moneda en $f = 1$ crece +20%/ronda. Responde a: si pudiera clonarme en un millón de apostadores paralelos, ¿cuál es mi resultado medio?
• El promedio en el tiempo (time-average, crecimiento geométrico) es lo que experimenta un único jugador a lo largo de una secuencia de tiradas, con el tiempo. Como las rondas multiplican, la forma correcta de promediarlas es en una escala logarítmica: la tasa de crecimiento a largo plazo por ronda es

$g(f) = p\ln(1 + f) + q\ln(1 - f).$

En $f = 1$ ese segundo término es $q\ln(0) = -\infty$: el crecimiento promedio en el tiempo es menos infinito — la forma que tiene un matemático de escribir «ruina segura». Las dos medias no solo difieren en tamaño; apuntan en direcciones opuestas. El conjunto dice despega; el tiempo dice húndete.

Un proceso donde estas dos medias coinciden se llama ergódico (ergodic); uno donde se separan — como la riqueza multiplicativa — es no ergódico (non-ergodic). Casi cualquier apuesta que dimensiones alguna vez en la vida real es no ergódica, que es exactamente por qué «maximizar la riqueza esperada» es una opción por defecto tan traicionera.

El movimiento más útil que puedes hacer con este cajón de arena: arrastra el deslizador de fracción de apuesta hacia abajo y observa cómo la línea típica despega del suelo. No estás cambiando la moneda — el margen es el mismo — estás cambiando cuánto de él expones a la ruina cada ronda. Por debajo de cierta fracción el crecimiento promedio en el tiempo pasa de negativo a positivo, y el jugador típico finalmente se compone hacia arriba. Encontrar esa fracción es el problema de Kelly.

Ver la brecha directamente

Devuelve la moneda a exactamente 60/40 a dinero parejo y observa competir a tres fracciones de apuesta: medio Kelly, Kelly completo y una sobreapuesta deliberada. Ejecútalo primero en la vista Jugador típico (mediana), luego cambia a Media del conjunto (media) y observa cómo la historia de la línea sobreapostada cambia por completo.

Esta es la brecha de ergodicidad hecha visible. En la vista de la mediana, la estrategia sobreapostada es una catástrofe. Cambia a la media y parece la mejor idea que has tenido jamás — porque la media es una historia contada por supervivientes. Cuando alguien te cita el rendimiento esperado de una estrategia agresiva, te está citando la media del conjunto, el número que describe a los pocos afortunados y a casi nadie más. Tú no eres el conjunto. Eres una trayectoria. El dimensionamiento de Kelly maximiza el número que describe tu trayectoria: el promedio en el tiempo, equivalentemente la riqueza mediana a largo plazo.

El arreglo, en una palabra: logaritmos

Aquí está la salida, planteada ahora y derivada por completo en la siguiente lección. El problema con $E[\text{riqueza}]$ es que promedia la riqueza en una escala lineal, donde un doblar y un partir por la mitad no se cancelan (subir $100 y luego bajar $100 desde $200 te deja en $100 — pero el viaje de ida y vuelta multiplicativo ×2 y luego ×0,5 te devuelve justo a donde empezaste). La escala honesta para un capital que se compone es el logaritmo, porque los logaritmos convierten la multiplicación en suma, así que el crecimiento de una única trayectoria es la suma de los log-factores por ronda — algo que la ley de los grandes números sí gobierna.

Así que el objetivo ganador no es «maximizar la riqueza esperada» sino maximizar el log esperado de la riqueza, $E[\ln W]$ — que es exactamente la tasa de crecimiento promedio en el tiempo $g(f)$ que escribimos arriba. Maximiza eso, y maximizas el crecimiento de la trayectoria típica y la riqueza mediana a largo plazo. Haz el cálculo sobre $g(f)$ y de ahí sale una única fracción óptima: la fracción de Kelly $f^* = p - \dfrac{q}{b}$, que para nuestra moneda es $0.6 - 0.4 = 0.20$. Un veinte por ciento — ni cien, ni cincuenta. Esa derivación es la Lección 2.