La curva de crecimiento: una cima, luego la ruina

La lección anterior derivamos la fracción de Kelly (Kelly fraction) $f^{*}=p-q/b$ — la única apuesta que hace crecer un capital que se compone tan rápido como puede. Pero una fórmula que escupe un número mágico es peligrosa si no entiendes el paisaje que la rodea. ¿Qué pasa si te quedas un poco por encima? ¿Un poco por debajo? ¿El doble por encima? La fracción de Kelly vive sobre una curva, y la forma de esa curva — dónde alcanza su cima, dónde cruza el cero, con qué inclinación cae a cada lado — es donde se esconde la verdadera sabiduría de apostar según Kelly.

Esta lección cartografía esa curva, la función de crecimiento (growth function) $g(f)$. Veremos que es una colina desequilibrada: empieza en cero, sube hasta una única cumbre en $f^{*}$, vuelve a bajar a cero en aproximadamente el doble de $f^{*}$, y luego se hunde en territorio negativo, arrastrando a un jugador con ventaja positiva hasta la ruina. Y extraeremos la lección más práctica de todo Kelly: en caso de duda, apuesta demasiado poco, nunca demasiado.

La forma de la curva: una colina desequilibrada

Dibuja la tasa de crecimiento $g(f)=p\ln(1+fb)+q\ln(1-f)$ frente a la fracción $f$ y obtienes una loma distintiva con cuatro hitos que merece la pena memorizar:

• En $f=0$: no apuestas nada, así que nada se compone. $g(0)=0$. Terreno llano.
• Subiendo hacia $f^{*}$: cada pizca extra de apuesta añade crecimiento, a un ritmo decreciente, hasta la única cumbre en la fracción de Kelly $f^{*}$, donde la pendiente es exactamente cero.
• De vuelta a cero cerca de $2f^{*}$: pasada la cima la curva desciende, y vuelve a $g=0$ en aproximadamente el doble de la fracción de Kelly. Aquí cargas con el riesgo máximo por cero recompensa.
• Negativa más allá, cayendo hacia $-\infty$: apuesta más de $2f^{*}$ y el crecimiento se vuelve negativo — decaes hacia cero con el tiempo. Cuando $f\to1$ (apostar todo) una única derrota te pone a cero, así que $g\to-\infty$.

La analogía. Imagina que subes una cresta en la niebla. Desde el inicio del sendero ($f=0$) el camino asciende a una cumbre ($f^{*}$). Sigue caminando en la misma dirección y no te quedas arriba — desciendes por la ladera lejana de vuelta a la altura del inicio (en $2f^{*}$) y luego caes por un precipicio a un barranco ($g<0$). La cumbre es el único buen sitio donde estar. La tragedia es que tanto la ladera lejana como el precipicio se sienten como «apostar más agresivamente en un juego ganador» — el mapa no da ningún aviso de que has cruzado la cima.

Por qué es casi una parábola — la derivación rápida

Cerca de la cima la loma es casi exactamente una parábola hacia abajo, lo que hace precisa su simetría. Desarrolla $\ln(1+fX)$ para $f$ pequeño (donde $X=+b$ en una victoria, $-1$ en una derrota) usando $\ln(1+u)\approx u-\tfrac12u^{2}$:

$g(f)=E[\ln(1+fX)] \approx f\,E[X] - \tfrac12 f^{2}\,E[X^{2}] = \mu f - \tfrac12\sigma^{2}f^{2},$

donde $\mu=E[X]=pb-q$ es tu ventaja (edge) (el rendimiento medio por unidad) y $\sigma^{2}=\operatorname{Var}(X)\approx E[X^{2}]$ es su varianza. Esta parábola hace exactos ambos hitos:

$\text{cima: } g'(f)=\mu-\sigma^{2}f=0 \;\Rightarrow\; f^{*}=\frac{\mu}{\sigma^{2}}, \qquad \text{cero: } \mu f-\tfrac12\sigma^{2}f^{2}=0 \;\Rightarrow\; f=\frac{2\mu}{\sigma^{2}}=2f^{*}.$

Así que en la aproximación continua (de difusión), el crecimiento es una parábola limpia que alcanza su cima en $f^{*}=\mu/\sigma^{2}$ y llega a cero exactamente en $2f^{*}$. Para apuestas discretas está ligeramente desviado — recuerda del ejemplo A que el doble Kelly $f=0.40$ daba $g\approx-0.0025$, un pelín por debajo de cero en lugar de justo en él — pero «el doble de Kelly ≈ crecimiento nulo» está lo bastante cerca como para regir tu vida por ello.

La trampa de la simetría: igual coste de crecimiento, peligro desigual

Aquí está la parte sutil que casi todo el mundo entiende mal. Como la loma es casi una parábola simétrica alrededor de su cima, sobreapostar en cierta cantidad e infraapostar en la misma cantidad cuestan aproximadamente lo mismo en crecimiento. Cae en $0.5f^{*}$ o en $1.5f^{*}$ y sacrificas una porción similar de crecimiento. Si el crecimiento fuera lo único que importara, pasarse y quedarse corto serían errores igualmente perdonables. No lo son — porque acarrean un riesgo salvajemente distinto.

Tabulemos la moneda 60/40 a dinero parejo ($f^{*}=20\%$) en cuatro fracciones, siguiendo tanto el crecimiento como una medida aproximada del riesgo de ronda a ronda. (La volatilidad del log-riqueza escala aproximadamente de forma lineal con $f$, así que se duplica de $0.5f^{*}$ a $f^{*}$ y se vuelve a duplicar para $2f^{*}$ — mientras que el crecimiento apenas se mueve cerca de la cima.)

Mira fijamente las dos filas centrales: el $10\%$ y el $30\%$ entregan un crecimiento casi idéntico (~1.5%/ronda, ~tres cuartas partes de la cima). Simétricos en crecimiento. Pero el apostador del $30\%$ soporta aproximadamente tres veces la volatilidad del apostador del $10\%$ por ese mismo rendimiento — y se sienta peligrosamente cerca del precipicio del $40\%$ donde el crecimiento se desvanece. Los costes son simétricos; las consecuencias no.

Observa el desplome de la sobreapuesta

Los números sobre una curva son una cosa; ver morir capitales es otra. En el simulador de abajo, la fracción elegida está prefijada en el 40% — exactamente el doble de Kelly para la moneda 60/40, justo en el cruce de crecimiento nulo. Ejecútalo y compara las tres líneas de apuesta: medio Kelly repta hacia arriba de forma constante, Kelly pleno sube más rápido, y la sobreapuesta del 40% se dispara al principio y luego se colapsa, terminando típicamente cerca o por debajo de donde empezó pese a la ventaja ganadora idéntica. Luego cambia la línea elegida a la vista de la media: la media parece dispararse hacia arriba — porque un puñado de trayectorias absurdamente afortunadas la arrastran al cielo — mientras que el jugador mediano (y casi todos los demás) ha quedado arruinado. Esa brecha entre la media que se dispara y la mediana que se hunde es la brecha de ergodicidad (ergodicity gap), y es exactamente lo que fabrica sobreapostar.

Infraapostar: seguro pero lento

Nada de esto hace que infraapostar sea gratis. Siéntate en medio Kelly para siempre y de verdad dejas crecimiento sobre la mesa — alrededor de un cuarto de él, en el caso 60/40 (1.5% frente a 2.0% por ronda), que se compone en una diferencia real a lo largo de miles de rondas. Infraapostar es la tortuga: nunca reventará, nunca golpeará el precipicio de la ruina, nunca sufrirá una caída que pare el corazón — pero anda despacio. La disyuntiva es honesta y merece decirse sin rodeos:

• Infraapostar ($f<f^{*}$): crecimiento más lento, viaje más suave, sin riesgo de ruina, indulgente con una ventaja mal estimada. La tortuga.
• Kelly pleno ($f=f^{*}$): el crecimiento más rápido, pero volatilidad violenta y solo exactamente correcto si de verdad conoces $p$ y $b$. El filo del cuchillo.
• Sobreapostar ($f>f^{*}$): menos crecimiento que Kelly pleno, más volatilidad, y pasado $2f^{*}$ crecimiento negativo — rápido, luego fatal. La liebre que muere.

Como la cumbre es plana (su pendiente es cero), un paso modesto hacia el lado bajo no cuesta casi nada en crecimiento a la vez que compra mucha seguridad — que es toda la razón de ser de la estrategia de Kelly fraccionado (fractional Kelly) en torno a la que se construye la próxima lección. La asimetría significa que la opción por defecto inteligente no es la cima en el filo de la navaja; es un paso deliberado ladera abajo por el lado seguro.