Kelly fraccionado: apuesta menos de lo que deberías

La última lección terminó con una nota triunfal: resolved el pico de la curva de crecimiento y obtenéis la fracción de Kelly (Kelly fraction) $f^* = p - q/b$ — el único tamaño de apuesta que hace que vuestro dinero componga más rápido a largo plazo. Apostar más es estrictamente peor; apostar más allá de $2f^*$ os arruina. Así que la respuesta es «apuesta exactamente $f^*$», ¿no?

Casi nadie que gestione dinero de verdad lo hace. Preguntadle a un jugador profesional, a un contador de cartas, a un quant de un fondo de cobertura — cualquiera que haya tenido dinero real en una apuesta de Kelly — y os dirá que apuesta la mitad de $f^*$, o menos. No porque no sepa hacer la aritmética. Porque sabe hacerla, y porque ha sentido lo que el Kelly completo le hace a un capital real en una racha de pérdidas real. Esta lección va sobre el ajuste práctico más importante de todo el marco: apostar deliberadamente una fracción de lo que dice la teoría. Suena a timidez. Está más cerca de la sabiduría.

El chollo del medio Kelly — casi todo el crecimiento, la mitad de los vaivenes

Aquí está la geometría que hace funcionar al Kelly fraccionado. La curva de crecimiento $g(f)$ no es un pico afilado que tenéis que clavar; cerca de la cima es una colina suavemente redondeada. Estar justo en la cumbre ($f^*$) frente a estar un poco ladera abajo ($f^*/2$) apenas cambia vuestra altitud — porque cerca de un pico suave la curva es esencialmente plana. Formalmente, cerca de la cima la tasa de crecimiento se comporta como una parábola invertida,

$g(f) \approx \mu f - \tfrac{1}{2}\sigma^2 f^2,$

que tiene su pico en $f^* = \mu/\sigma^2$. El crecimiento cae de forma cuadrática a medida que os alejáis de $f^*$; la volatilidad de vuestra log-riqueza, en cambio, escala linealmente con $f$. Dos velocidades distintas — y ese desajuste es todo el chollo.

Echad las cuentas en nuestra moneda canónica 60/40 a dinero par ($p=0{,}6$, $b=1$, así que $f^*=0{,}20$):

• Kelly completo, $f=0{,}20$: $g = 0{,}6\ln 1{,}2 + 0{,}4\ln 0{,}8 \approx 0{,}0201$ → +2,0%/ronda (el pico).
• Medio Kelly, $f=0{,}10$: $g = 0{,}6\ln 1{,}1 + 0{,}4\ln 0{,}9 \approx 0{,}0150$ → +1,5%/ronda — eso es $0{,}0150/0{,}0201 \approx$ 75% del crecimiento máximo por la mitad de la apuesta.

Reducid vuestra apuesta a la mitad y conserváis tres cuartas partes de la composición. Ese es el número para tatuárselo en alguna parte: media apuesta, tres cuartas partes del crecimiento, la mitad de la volatilidad.

La imagen deja obvia la asimetría. Por debajo de $f^*$ la curva es casi plana — quedarse corto no os cuesta casi nada. Por encima de $f^*$ se despeña — pasarse os cuesta todo. Así que el error listo es errar por lo bajo, y el medio Kelly es errar por lo bajo a propósito.

Siempre sobreestimas tu margen — así que el Kelly completo siempre se pasa

Ahora la razón más profunda, la que convierte al Kelly fraccionado de «buen trato» en «innegociable». La fórmula de Kelly exige dos ingredientes: la verdadera probabilidad de ganar $p$ y la verdadera cuota de pago $b$. Nunca los conocéis. Los estimáis — con un modelo, con el historial, con el instinto — y las estimaciones humanas del propio margen tiran, con fiabilidad y casi cómicamente, demasiado alto. Los traders sobrevaloran sus señales; los jugadores sobrevaloran sus lecturas; todo el mundo cree que su margen es mayor de lo que es.

Aquí está por qué eso no es un error de redondeo menor sino una trampa estructural. Kelly es un máximo — la cima de la joroba. Meted un margen inflado y la fórmula os entrega un tamaño de apuesta que se sitúa a la derecha del pico verdadero, ahí fuera en la ladera que da a la ruina. Y esa ladera, como vimos, es un precipicio. Sobreestimar vuestro margen no os cuesta un poco de crecimiento; os empuja hacia $2f^*$, donde un juego con margen genuinamente positivo os muele hasta cero.

Un susto trabajado: supón que la verdad es $p=0{,}6$, $b=1$, así que el Kelly verdadero es $f^*=20\%$. Pero eres optimista y crees que $p=0{,}7$. Tu Kelly creído es $f = 2(0{,}7)-1 = 40\%$ — que es exactamente $2f^*$ para la moneda real. Apostarías el 40% de tu capital cada ronda, convencido de que maximizas el crecimiento, mientras tu verdadero crecimiento a largo plazo es cero y derivando hacia negativo. Una conjetura demasiado confiada y te has apostado justo sobre la línea de la ruina.

Esto invierte por completo la lógica de la seguridad. Si vuestra estimación del margen pudiera errar en cualquier dirección, el coste de conjeturar demasiado bajo es un poco de crecimiento renunciado en el lado plano de la colina. El coste de conjeturar demasiado alto es caída y ruina en el lado del precipicio. Ante una penalización asimétrica así, os protegéis rebajando vuestra apuesta — apostando una fracción de vuestro Kelly calculado, de modo que aunque vuestro margen verdadero sea menor de lo que creéis, seguís a salvo en el lado izquierdo del pico. El medio Kelly significa que podéis sobreestimar vuestro margen por un factor de dos y aun así no pasaros de la verdad.

Hasta el Kelly completo te entrega caídas brutales

Supón que pudieras conocer tu margen con exactitud — sin ningún error de estimación. ¿Deberías apostar el Kelly completo entonces? Aun así probablemente no, porque el Kelly completo, incluso jugado a la perfección, es salvajemente volátil. Maximizar el crecimiento y minimizar la acidez de estómago son objetivos distintos, y Kelly solo optimiza el primero.

El hecho limpio: bajo Kelly completo, la probabilidad de que vuestro capital alguna vez caiga a una fracción $\alpha$ de su valor inicial es aproximadamente $\alpha$ mismo. Así que hay alrededor de un 50% de probabilidad de que en algún momento estéis reducidos a la mitad de vuestro capital inicial, y alrededor de un 10% de probabilidad de que en algún momento toquéis una décima parte de él — no como pérdida permanente, solo como parte del viaje hacia arriba. Cincuenta-cincuenta de ver evaporarse la mitad de vuestro dinero es más de lo que la mayoría de los humanos, y esencialmente todas las instituciones con clientes, pueden aguantar sin entrar en pánico y tirar del enchufe en el peor momento.

Apostar una fracción $c$ del Kelly completo hace que esas probabilidades de caída se desplomen rápido. En la aproximación continua (de difusión) la probabilidad de alguna vez caer a una fracción $\alpha$ es $\alpha^{(2-c)/c}$ — un exponente mayor a medida que $c$ se encoge, así que una probabilidad menor. Reducir $c$ a la mitad, de 1 a $\tfrac12$, lleva las probabilidades de «reducirse a la mitad alguna vez» del 50% a alrededor del 12%. Aquí está todo el trato desplegado sobre la moneda 60/40:

Leed a lo ancho la fila del medio Kelly: entregáis una cuarta parte de vuestro crecimiento y a cambio vuestra probabilidad de ver alguna vez una caída del 50% baja de un cara-o-cruz a alrededor de uno de cada ocho, y una barrida del 90% pasa de plausible a casi imposible. El cuarto de Kelly compra aún más calma a costa de aproximadamente la mitad del crecimiento. No hay ninguna fila donde el perfil de caídas del Kelly completo parezca un buen trato para una persona real con un estómago real y una carrera finita.

El Kelly fraccionado es margen de seguridad

Si «hacer deliberadamente menos que el óptimo, para dejar sitio a equivocarte» os suena, debería: es el margen de seguridad (margin of safety), el mismo principio que usa una ingeniera de estructuras cuando construye un puente calificado para 40 toneladas y coloca el límite en 10. No está confundida sobre la física. Está respetando que las cargas se disparan, los materiales fatigan, y su modelo del mundo es una aproximación. El hueco entre lo que la estructura puede soportar y lo que permitirá encima es el margen de seguridad.

El Kelly fraccionado es ese movimiento exacto en forma de capital. El Kelly completo es la carga que vuestra matemática del crecimiento dice que podéis soportar. La fracción que de verdad apostáis es el límite señalizado — fijado deliberadamente por debajo del máximo teórico para absorber las dos cosas que no controláis: un margen que habéis sobreestimado, y una racha de pérdidas peor que vuestra media. La misma lógica en la inversión en valor (comprad con descuento sobre el valor estimado para que una estimación errónea aún os deje enteros), la misma lógica en Kelly (apostad por debajo del óptimo calculado para que un margen erróneo aún os deje solventes).

Cuánto recortar — eligiendo tu fracción

Entonces, ¿cuánto deberíais apostar — la mitad, un cuarto, una décima? No hay número universal, pero sí hay una forma limpia de razonarlo. Tres diales fijan la fracción:

• Cómo de bien conocéis vuestro margen. Un margen afilado, bien probado y estable (un conteo de cartas demostrado, una señal contrastada hasta la saciedad) puede soportar una fracción mayor — digamos la mitad. Un margen vago, fino o cambiante (una corazonada, una muestra pequeña, un mercado que no para de cambiar) exige una menor — un cuarto o menos. La fracción es un dial para vuestra confianza en los ingredientes, no solo para vuestro apetito de riesgo.
• Cuánta caída podéis sobrevivir (vosotros o vuestros clientes). Si una caída del 30% os hace abandonar o dispara reembolsos, dimensionad de modo que una caída del 30% sea improbable — lo que, según la tabla, significa muy por debajo del Kelly completo. Vuestra verdadera restricción suele ser «qué caída me acaba», no «qué maximiza el crecimiento».
• Cómo de correlacionadas están vuestras apuestas. Si tenéis muchas apuestas a la vez que tienden a perder juntas, su Kelly combinado es mucho menor que la suma de los individuales — un tema que abre la próxima lección. La exposición correlacionada es una razón para recortar más fuerte.

Cuándo usarlo

Usad el Kelly fraccionado esencialmente siempre — es el ajuste por defecto práctico, y el Kelly completo es el caso límite, no al revés. Acercaos a algo parecido al Kelly completo solo en la rara situación en que vuestro margen sea genuina y precisamente conocido y de verdad no os importen las caídas a corto plazo (un juguete puramente matemático, o un capital tan segregado que una pérdida total de esta apuesta no cambie nada de vuestra vida). Allá donde el dinero real se encuentra con un margen incierto y un sistema nervioso humano, apostad la mitad o menos. El mnemónico: la teoría os dice lo más que podríais apostar; la sabiduría os dice que apostéis menos.