Maximizar el logaritmo de la riqueza

La lección anterior nos dejó con una paradoja. Una apuesta con una ventaja genuina — la moneda 60/40, en la que ganas el 60% de las veces a dinero parejo (even money) — aun así te arruinará si apuestas todo tu capital, e incluso apostar la mayor parte te desgasta con el tiempo. La aritmética que dice «valor esperado positivo, así que apuesta fuerte» está respondiendo a una pregunta que en realidad no te estás haciendo. Entonces, ¿cuál es la pregunta correcta? ¿Qué único número debería intentar hacer lo más grande posible un jugador que reinvierte?

La respuesta, descubierta por John Kelly en los Laboratorios Bell en 1956 y convertida en arma por Ed Thorp en las mesas de blackjack unos años después, es engañosamente pequeña: maximiza el logaritmo esperado de tu riqueza (expected log wealth). No tu riqueza. El logaritmo de tu riqueza. Esta lección explica por qué ese objetivo tan peculiar es el correcto para el dinero que se multiplica, y luego le da a la manivela y deriva la fracción de Kelly (Kelly fraction) a partir de él — una fórmula que puedes escribir en una servilleta y que te dice exactamente cuánto de tu capital apostar.

Por qué logaritmos: la riqueza se multiplica, así que el crecimiento se suma

Aquí está el meollo, y es un hecho sobre aritmética, no sobre psicología. Cuando apuestas una fracción de tu capital, las rondas buenas y malas se multiplican entre sí, no se suman. Gana la moneda 60/40 con fracción $f$ y tu riqueza se multiplica por $(1+fb)$; pierde y se multiplica por $(1-f)$. Tras muchas rondas tu riqueza es un largo producto de estos factores:

$W_n = W_0 \cdot (1+fb)^{\,\text{ganadas}} \cdot (1-f)^{\,\text{perdidas}}.$

Los productos son difíciles de razonar; las sumas son fáciles. El logaritmo es la herramienta que convierte un producto en una suma — $\ln(xy)=\ln x+\ln y$ — así que tomar logaritmos convierte tu capital multiplicativo en uno que suma:

$\ln W_n = \ln W_0 + (\text{ganadas})\ln(1+fb) + (\text{perdidas})\ln(1-f).$

Ahora el comportamiento a largo plazo es una media simple. Divide entre $n$ rondas y, por la ley de los grandes números, la fracción de victorias tiende a $p$ y la de derrotas a $q=1-p$. La tasa de crecimiento por ronda del log-riqueza se estabiliza en un número fijo que llamamos $g(f)$:

$g(f) = p\,\ln(1+fb) + q\,\ln(1-f).$

Este $g(f)$ es la tasa de crecimiento temporal (time-average growth rate) — el ritmo exponencial al que un único capital, el tuyo, se compone en realidad si sigues jugando. Como $W_n \approx W_0\, e^{\,g(f)\,n}$, una $g$ positiva significa crecimiento exponencial, $g=0$ significa que te quedas a flote para siempre, y $g<0$ significa que decaes hacia cero por muy prometedora que pareciera una sola ronda.

La analogía. Piensa en dos escaleras mecánicas. La riqueza esperada simple $E[W]$ es un locutor de lotería gritando el premio medio entre un millón de poseedores de boletos — un número que un único ganador del bote puede inflar él solito mientras todos los demás se van a casa arruinados. La tasa de log-crecimiento $g(f)$ es la escalera mecánica sobre la que estás de pie tú personalmente: su pendiente es el ritmo al que sube tu propio dinero, ronda tras ronda, y el bote de ningún desconocido cambia el escalón bajo tus pies.

El error que hay que matar. «El log-riqueza va de ser averso al riesgo — es una función de utilidad psicológica para cobardes.» No. Incluso un robot perfectamente neutral al riesgo que solo se preocupa por hacer crecer su dinero tan rápido como sea físicamente posible, sin ningún sentimiento sobre la volatilidad, debería maximizar $E[\ln W]$ — porque eso es la tasa de crecimiento. El logaritmo no es un apaño para los nervios; es la contabilidad exacta de una magnitud que se multiplica.

Cuándo usar esta lente

Recurre al logaritmo esperado de la riqueza siempre que los resultados se multipliquen y reinviertas: capitales, carteras, rendimientos compuestos, dimensionar apuestas a lo largo de muchas rondas independientes. Si en cambio tus pagos simplemente se suman — una apuesta única que nunca repetirás, una cantidad fija que no puedes volver a apostar — entonces el valor esperado simple es la herramienta correcta y Kelly no aplica. Kelly es la matemática de la apuesta repetida, reinvertida y divisible.

Derivar la fracción de Kelly

Tenemos el objetivo $g(f)$. Ahora encontramos la fracción $f$ que lo maximiza — y aquí es donde una servilleta y una línea de cálculo producen una fórmula famosa. Una loma suave se maximiza donde su pendiente es cero, así que derivamos $g$ respecto de $f$ e igualamos el resultado a $0$:

$g'(f) = \frac{p\,b}{1+fb} - \frac{q}{1-f} = 0.$

Multiplicamos en cruz las dos fracciones:

$p\,b\,(1-f) = q\,(1+fb).$

Desarrollamos ambos lados — $pb - pbf = q + qbf$ — y agrupamos a un lado todos los términos con $f$:

$pb - q = pbf + qbf = bf\,(p+q) = bf,$

usando $p+q=1$. Dividimos entre $b$ y tenemos la fracción de Kelly:

$\boxed{\,f^{*} = \frac{pb - q}{b} = p - \frac{q}{b}\,}$

Léela como una frase: apuesta tu ventaja dividida entre las cuotas. El numerador $pb-q$ es tu ventaja (edge) — beneficio esperado por unidad apostada — y dividir entre las cuotas de pago $b$ la escala a una fracción del capital. Mayor ventaja, apuesta más; cuotas más largas (mayor $b$), apuesta una porción más pequeña, porque cada victoria ya paga generosamente.

Para una apuesta a dinero parejo ($b=1$) la fórmula se colapsa en algo que puedes hacer de cabeza:

$f^{*} = 2p - 1 = p - q,$

que es simplemente tu ventaja. Una moneda al 60% a dinero parejo: $f^*=2(0.6)-1=0.2$, apuesta un quinto. Una moneda al 55%: apuesta una décima parte. Una moneda al 50%: no apuestes nada — sin ventaja, sin apuesta.

Ejemplo resuelto A: la moneda 60/40 a dinero parejo

Toma la apuesta canónica: probabilidad de ganar $p=0.6$, de perder $q=0.4$, dinero parejo $b=1$. La fórmula da $f^{*}=0.6-0.4=\mathbf{0.20}$ — apuesta el 20% de tu capital en cada ronda. Verifiquemos que de verdad es la cima tabulando la tasa de crecimiento $g(f)$ en varias fracciones. (La columna del medio es $g$ en unidades logarítmicas; la de la derecha la convierte en un rendimiento compuesto efectivo por ronda, $e^{g}-1$.)

La cima se sitúa exactamente en $f^*=20\%$, ganando alrededor de +2%/ronda de composición — modesto por ronda, pero $e^{0.02n}$ a lo largo de cientos de rondas es una fortuna. Dos rasgos que archivar para la próxima lección: medio Kelly (10%) aún embolsa cerca de 1.5%/ronda, aproximadamente tres cuartas partes del crecimiento máximo por la mitad de la apuesta; y doble Kelly (40%) ya ha caído de nuevo por debajo de cero — una apuesta con ventaja positiva entregando crecimiento a largo plazo negativo. Apostar todo ($f=1$) significa que una única derrota te multiplica por $(1-1)=0$: ruina instantánea y permanente, que el juego repetido garantiza.

Ejemplo resuelto B: cuotas favorables (2 a 1)

Ahora cambia el pago. Supón una moneda casi justa, $p=0.5$, pero una victoria paga 2 a 1 ($b=2$) — arriesgas una unidad para ganar dos. ¿Merece la pena apostar, y cuánto? Primero la ventaja:

$\text{ventaja} = pb - q = (0.5)(2) - 0.5 = 1.0 - 0.5 = 0.5 > 0,$

así que sí, fuertemente favorable. La fracción de Kelly es la ventaja entre las cuotas:

$f^{*} = \frac{pb-q}{b} = \frac{0.5}{2} = 0.25,$

y la forma alternativa coincide: $f^{*}=p-\dfrac{q}{b}=0.5-\dfrac{0.5}{2}=0.5-0.25=0.25$. Apuesta el 25%. Fíjate en la disciplina aquí: una apuesta que ganas solo la mitad de las veces aun así merece un cuarto de tu capital porque las rondas ganadoras pagan el doble — pero no más de un cuarto, porque la mitad perdedora aparecerá con la misma frecuencia y debes sobrevivirla.

Ejemplo resuelto C: una ventaja real y fina

Las ventajas reales rara vez son del 20%. Cuando Ed Thorp llevó el conteo de cartas a las mesas de blackjack, su ventaja sobre la banca con un recuento favorable era del orden del 1% a un pago aproximadamente parejo. Kelly dice entonces apostar en torno a $f^{*}\approx 1\%$ de tu capital — y los jugadores con ventaja serios apuestan una fracción incluso de eso, por razones que las dos próximas lecciones dejan dolorosamente claras. El linaje importa: el artículo de Kelly de 1956 surgió de la teoría de la información de Claude Shannon (su título va literalmente sobre la tasa de información), Thorp lo convirtió en una fortuna primero en el blackjack y luego en Wall Street con el fondo de cobertura Princeton–Newport, y la misma fórmula dimensiona hoy posiciones tanto para jugadores profesionales como para operadores cuantitativos.

La lección del ejemplo C es aleccionadora: una ventaja del 1% es dinero real con el tiempo — un motor de crecimiento de aproximadamente 1%/ronda — pero también es un susurro. Sobreestímala aunque sea ligeramente, apuesta como si fuera del 3%, y te has empujado más allá de la cima hacia el lado de la ruina de una loma que no puedes ver. Exactamente cuán peligroso es eso — y por qué «errar por lo bajo» es la única dirección segura — es el tema de la próxima lección.