En la lección anterior aprendisteis a anotar un juego. Ahora empezamos a resolverlos, y arrancamos por el caso más feliz posible — tan feliz que casi parece hacer trampas. A veces, cuando comparáis vuestras opciones, una de ellas sale ganando haga lo que haga el otro jugador. Cuando eso ocurre no necesitáis predecir a vuestro rival, leerle la mente ni preocuparos por su astucia. Simplemente jugáis vuestra jugada ganadora y dejáis que él haga lo que quiera. Esa jugada se llama estrategia dominante (dominant strategy), y reconocer una es la victoria más rápida de toda la teoría de juegos.
Qué significa “dominante” con precisión
Una estrategia es dominante para un jugador cuando le da un pago más alto que su otra opción, en cada columna que el rival pudiera elegir. La prueba es columna a columna: mirad qué obtendríais con la Opción 1 frente a la Opción 2 si el rival juega su primera estrategia, y luego de nuevo si juega la segunda. Si la misma opción vuestra gana ambas comparaciones, es dominante.
Aquí tenéis uno limpio. Dos tiendas de barrio competidoras deciden cada una si aceptar tarjetas de crédito o quedarse solo en efectivo. Aceptar tarjetas cuesta un poquito en comisiones pero atrae clientes — y resulta que compensa haga lo que haga el rival. Usad los botones ± para comprobar la afirmación vosotros mismos: comparad las dos filas (o columnas) de cada tienda, una jugada del rival cada vez.
Matriz de pagos
¿Tarjetas o efectivo? Comprueba cada opción columna a columna
Cada casilla muestra (tu tienda, tienda rival) en beneficio mensual. Para buscar una estrategia dominante, fija la elección del rival y pregúntate cuál de tus dos jugadas paga más — luego comprueba también la otra elección del rival.
| Tienda rival | ||
|---|---|---|
| Aceptar tarjetas | Solo efectivo | |
| Tu tiendaAceptar tarjetas | EN44 | 52 |
| Solo efectivo | 25 | 33 |
Un pago resaltado con un anillo es la mejor respuesta de ese jugador a la elección del rival. Una casilla con los dos pagos resaltados es un equilibrio de Nash.
Lo que dice la matriz
Tu tienda — estrategia dominante: Aceptar tarjetas
Tienda rival — estrategia dominante: Aceptar tarjetas
Equilibrio de Nash (puro): (Aceptar tarjetas, Aceptar tarjetas)
Recorred la lógica para vuestra tienda. Si el rival acepta tarjetas (columna
izquierda), obtenéis 4 por aceptar frente a 2 por solo efectivo — aceptar
gana. Si el rival va solo en efectivo (columna derecha), obtenéis 5 por
aceptar frente a 3 por solo efectivo — aceptar gana otra vez. Aceptar tarjetas
supera a solo efectivo en ambos mundos, así que es vuestra estrategia dominante.
Podéis jugarla sin saber ni importaros lo que el rival decida. Por el argumento
idéntico a lo largo de las columnas, aceptar es dominante también para él — así que
el juego se resuelve solo en la esquina superior izquierda, (4, 4).
El atajo que te da una estrategia dominante
Una estrategia dominante reduce un problema difícil a uno fácil. Normalmente tu mejor jugada depende de predecir al otro jugador. Una estrategia dominante significa que puedes saltarte la predicción por completo — tu respuesta es la misma contra cualquier rival, genio o necio. Cuando detectes una, tómala y deja de deliberar.
Su imagen reflejada: la estrategia dominada
Dale la vuelta a la idea. Una estrategia está dominada cuando alguna otra opción tuya rinde al menos igual de bien en cada columna y estrictamente mejor en alguna — dicho de otro modo, hay una jugada distinta que nunca es peor y a veces es mejor. En el juego de las tiendas, “solo efectivo” es una estrategia dominada (dominated strategy): aceptar tarjetas la supera haga lo que haga el rival, así que una tienda racional nunca debería jugar solo efectivo.
Esto nos da la regla práctica más fiable del campo:
Un jugador racional nunca juega una estrategia estrictamente dominada.
Es lo más parecido a una ley en la que apoyarse que tiene la teoría de juegos. Incluso cuando un juego no tiene una respuesta limpia, casi siempre podéis empezar tachando las jugadas dominadas — nadie sensato las elegirá — lo que a menudo reduce una situación desconcertante a otra manejable.
Una estrategia D está estrictamente dominada por la estrategia U: U paga más que D contra cualquier elección que pudiera hacer el rival. ¿Qué debería hacer un jugador racional con D?
Resolver un juego por eliminación
Tachar estrategias dominadas es lo bastante potente como para resolver algunos juegos por sí solo — incluso cuando ninguna jugada es directamente dominante. El truco está en que eliminar la mala opción de un jugador puede crear una jugada dominante para el otro, alrededor de la cual eliminas a continuación, y así sucesivamente. Esto se llama eliminación iterada de estrategias dominadas (iterated elimination of dominated strategies), y merece la pena verlo una vez.
Supón que tú tienes las jugadas Arriba/Abajo y el rival tiene Izquierda/Centro/Derecha. Te das cuenta de que la “Derecha” del rival está dominada por su “Centro” — Centro siempre le paga más — así que tachas con confianza la Derecha: un rival racional nunca irá ahí.
Pero aquí está la jugada: ahora que Derecha ha desaparecido, el juego es más pequeño, y en ese juego más pequeño podría resultar que tu “Arriba” supere a “Abajo” en las dos columnas restantes — aunque no lo hiciera cuando Derecha aún estaba en juego. Así que ahora Arriba es dominante para ti, y la juegas. Eliminar su mala opción te creó una respuesta limpia a ti.
Supones que tu rival es racional (no jugará Derecha), y esa suposición te entrega una jugada más afilada. Cadenas como esta pueden colapsar una matriz grande e intimidante hasta un único resultado predicho — lógica pura, sin adivinar.
La pega: las estrategias dominantes son raras
Ahora la parte honesta, porque las estrategias dominantes son tan satisfactorias que los principiantes se ponen a cazar una en cada juego y fuerzan una respuesta inexistente. La mayoría de los juegos no tienen estrategia dominante. Mirad de nuevo el juego de los estándares de la lección anterior: allí, vuestra mejor jugada cambiaba según lo que hiciera el rival — igualad el Formato A si elige A, igualad el Formato B si elige B. Ninguna de vuestras opciones ganaba en ambas columnas, así que ninguna era dominante. Esa es la situación normal: vuestra mejor respuesta depende de la suya, que es exactamente el problema del salón de los espejos que aún tenemos que resolver.
Para cada juego descrito, ¿tiene el jugador en cuestión una estrategia dominante?
Place each item in the right group.
- Estudiar sube tu nota independientemente de lo que hagan tus compañeros
- Conducir por la izquierda solo si todos los demás conducen por la izquierda
- Esquivar solo si esperas que el otro conductor siga recto
- Confesar te da una condena más leve confiese o no tu compañero
- Igualar el Formato A si el rival elige A, pero igualar el Formato B si elige B
- Aceptar tarjetas paga más que solo efectivo contra cualquier jugada del rival
Fija las definiciones.
Pick the right option for each blank, then check.
Una estrategia supera a tus otras opciones haga lo que haga el rival, así que no necesitas predecirlo; su opuesta, una estrategia , es superada por otra opción tuya en todos los casos, así que un jugador racional la juega.
Cuándo usarlo
Siempre que os enfrentéis a una elección estratégica, haced primero la comprobación de dominancia — es barata y de vez en cuando os entrega la respuesta entera. Para cada una de vuestras opciones, preguntaos: ¿supera esta a mis alternativas haga lo que haga el rival? Si sí, ya está; dejad de deliberar y jugadla. Si ninguna opción domina, al menos tachad cualquier jugada que esté dominada — nunca juguéis esas — y luego traed la maquinaria más pesada. Esa maquinaria es el equilibrio de Nash, la idea que por fin os dice dónde aterrizar cuando vuestra mejor jugada y la suya están enredadas. Va a continuación.