ESS y Nash: el listón extra

Hasta ahora tienes dos herramientas. La prueba de invasión te dice cuándo una estrategia $I$ es una ESS: para todo mutante $J$, o bien $E(I,I) > E(J,I)$, o bien los pagos empatan contra el residente ($E(I,I) = E(J,I)$) y $I$ gana el desempate $E(I,J) > E(J,J)$. Y el juego Halcón–Paloma te entregó una ESS mixta en $p^* = V/C$. Esta lección conecta esa maquinaria con la idea más famosa de la teoría de juegos —el equilibrio de Nash (Nash equilibrium)— y muestra exactamente dónde coinciden ambos conceptos, dónde se separan y por qué la diferencia no es un tecnicismo sino el meollo del asunto.

El titular, en una frase: una ESS es un equilibrio de Nash que ha superado un examen extra. Nash pregunta: “¿querría cambiar un jugador racional?”. La ESS también lo pregunta —y luego formula la cuestión más dura: “¿y puede colarse un mutante afortunado que va a la deriva, incluso cuando cambiar da lo mismo?”.

Primero, qué dice realmente un equilibrio de Nash simétrico

Antes de poder decir “la ESS refina a Nash”, fijemos el lado de Nash en el lenguaje exacto que venimos usando. En un juego simétrico de una población, una estrategia $I$ es un equilibrio de Nash (NE) si es la mejor respuesta a sí misma:

$E(I,I) \ge E(J,I) \quad \text{para todo } J.$

Léelo en voz alta: si todos a tu alrededor juegan $I$, ninguna estrategia alternativa $J$ gana estrictamente más contra esa multitud de lo que gana $I$. Nadie tiene motivo para desviarse unilateralmente. Ese es todo el contenido de Nash: una condición de cero arrepentimiento. Trata de un agente racional solitario mirando una población fija y preguntándose: “dado lo que hacen todos los demás, ¿puedo mejorar cambiando de idea?”. Si la respuesta es no, estás en un equilibrio de Nash.

Fíjate en que la desigualdad es débil ($\ge$, no $>$). Esa única elección de símbolo es donde reside todo el drama. Un equilibrio de Nash estricto (strict Nash equilibrium) usa $>$: toda desviación va estrictamente peor. Un equilibrio de Nash débil permite empates: alguna desviación va exactamente igual de bien. Retén esa distinción — vuelve por sus fueros.

ESS ⊆ Nash: toda estrategia estable es un equilibrio

Ahora la primera gran afirmación, y es más limpia de lo que esperarías: toda ESS es un equilibrio de Nash. En términos de conjuntos, $\text{ESS} \subseteq \text{NE}$.

¿Por qué tiene que ser cierto? Mira las dos formas en que una estrategia $I$ puede superar la prueba de invasión contra un mutante $J$:

1. Se dispara la Condición 1: $E(I,I) > E(J,I)$. Eso ya te da $E(I,I) \ge E(J,I)$ — con margen de sobra.
2. La Condición 1 empata, se dispara la Condición 2: aquí $E(I,I) = E(J,I)$, lo que también te da $E(I,I) \ge E(J,I)$ — con igualdad.

Cualquiera de las dos ramas entrega $E(I,I) \ge E(J,I)$. Como $I$ tiene que vencer a todo mutante $J$ para ser una ESS, cumple $E(I,I) \ge E(J,I)$ para todo $J$ — y eso es precisamente la condición de Nash. Así que una ESS es automáticamente la mejor respuesta a sí misma.

La intuición es casi demasiado obvia una vez la ves: si $I$ no fuera la mejor respuesta a sí misma, algún $J$ ganaría estrictamente más contra la multitud residente de $I$. Ese $J$ tendría entonces una ventaja de aptitud en el instante en que apareciera e invadiría de inmediato. Una estrategia por la que una respuesta mejor puede pasar sin problema no puede ser en absoluto ininvadible. La ininvadibilidad exige, como mínimo, ser la mejor respuesta a uno mismo. La ESS exige ese suelo y algo más.

Un equilibrio de Nash que NO es una ESS

Aquí está la recompensa de todo ese montaje: la inclusión va en un solo sentido. No todo equilibrio de Nash es una ESS. La ESS añade la Condición 2, el desempate, y ese listón extra elimina equilibrios que son estables ante el razonamiento pero no ante la deriva y la mutación.

Construyamos el contraejemplo más pequeño posible y machaquemos la aritmética. Dos estrategias, $A$ y $B$. Pagos para el jugador de la fila:

Lee la tabla siempre igual: la fila eres tú, la columna es tu oponente, la celda es tu pago. Así que $E(A,A)=1$, $E(A,B)=1$, $E(B,A)=1$, $E(B,B)=2$.

Paso 1 — ¿Es $A$ un equilibrio de Nash? Compara $A$ contra la única alternativa, $B$, cuando el residente es $A$:

• $E(A,A) = 1$
• $E(B,A) = 1$

Empatan. Ninguna estrategia gana estrictamente más que $A$ contra una multitud de $A$, así que $A$ es la mejor respuesta a sí misma. $A$ es un equilibrio de Nash (débil). Un jugador racional en un mundo todo-$A$ no tiene motivo estricto para cambiar — desviarse a $B$ paga exactamente el mismo 1.

Paso 2 — ¿Es $A$ una ESS? La Condición 1 ya falló (es un empate, no una victoria estricta), así que todo recae en la Condición 2: necesitamos $E(A,B) > E(B,B)$.

• $E(A,B) = 1$
• $E(B,B) = 2$
• ¿Es $1 > 2$? No. La Condición 2 falla.

Así que $A$ NO es una ESS, aunque sea un equilibrio de Nash genuino.

Ahora la historia evolutiva, que es la parte que el Nash basado en la racionalidad simplemente no puede ver. Como $B$ lo hace igual de bien contra $A$ (ambos puntúan 1), un mutante $B$ es selectivamente neutro en un mundo de $A$ — la selección ni lo castiga ni lo recompensa. Así que $B$ puede derivar hacia arriba en frecuencia por puro azar, generación tras generación, sin que ninguna penalización de aptitud lo detenga. Y en el momento en que $B$ se vuelve lo bastante común como para que unos $B$ se encuentren con otros $B$, la trampa salta: $B$-contra-$B$ paga $2$, superando el $1$ que paga $A$-contra-$A$. $B$ tiene ahora la ventaja, y barre hasta la fijación. $A$ era Nash, y la evolución pasó de largo.

Y para completar el cuadro, comprueba la otra estrategia, $B$, como residente:

• $E(B,B) = 2$ frente al mutante $E(A,B) = 1$. Como $2 > 1$, se dispara la Condición 1: $B$ es una mejor respuesta estricta a sí misma. $B$ SÍ es una ESS (y además un equilibrio de Nash estricto).

Nash estricto ⇒ ESS: el atajo, y dónde viven los empates

Hemos visto un equilibrio de Nash débil que no llega a ser una ESS. El hecho espejo es un atajo genuinamente útil: todo equilibrio de Nash estricto es una ESS.

Supón que $I$ es un equilibrio de Nash estricto —es decir, $E(I,I) > E(J,I)$ para todo $J \ne I$. Pero fíjate: esa desigualdad es la Condición 1 de la ESS. Se cumple para todos los mutantes, así que $I$ supera la prueba de invasión de entrada — la Condición 2 ni siquiera hay que consultarla. NE estricto → Condición 1 para todo $J$ → ESS. Hecho.

Entonces, ¿dónde viven las ESS interesantes —las que necesitan la Condición 2 para algo? Exactamente donde las estrategias empatan contra el residente. Si $E(I,I) = E(J,I)$ para algún mutante $J$, entonces $I$ no es la mejor respuesta estricta a sí misma, así que el atajo del NE estricto no aplica, y la estabilidad tiene que rescatarla el desempate $E(I,J) > E(J,J)$. En esos casos la Condición 2 hace todo el trabajo de estabilidad.

Y el ejemplo estrella de “estrategias que empatan contra el residente” es la ESS mixta. Aquí está el hecho estructural clave, digno de grabarse en piedra:

Recuperemos Halcón–Paloma. Su ESS mixta $p^* = V/C$ —jugar Halcón con probabilidad $V/C$— es un equilibrio de Nash mixto, no estricto. En esa mezcla, Halcón puro y Paloma pura ganan exactamente el mismo pago esperado contra la población de equilibrio (por eso a nadie le tienta volverse todo-Halcón o todo-Paloma). Como esos pagos empatan, $p^*$ suspende la prueba estricta; califica como ESS solo a través de la Condición 2, que verifica que la mezcla residente lo hace mejor contra un mutante raro de lo que el mutante hace contra sí mismo. El desempate no es decoración en Halcón–Paloma — es la razón entera de que la mezcla sea estable.

Las dos caras de una estrategia mixta

Hay una idea más en esta lección, y es del tipo de distinción que separa a quienes usan la ESS de quienes solo la citan. Cuando decimos que Halcón–Paloma se asienta en "$p^* = V/C$", ¿qué aspecto tiene físicamente la población? Hay dos cuadros biológicos completamente distintos que producen las mismas matemáticas idénticas — y confundirlos causa errores reales.

Cara 1 — el individuo que aleatoriza. Cada animal es un único jugador mixto: un apostador estocástico idéntico que, en cada contienda, juega Halcón con probabilidad $p^* = V/C$ y Paloma en caso contrario. Todos son iguales; cada individuo lleva una moneda y la lanza. La variación vive dentro de cada animal, a lo largo de sus muchos encuentros.

Cara 2 — el polimorfismo estable. Nadie aleatoriza en absoluto. La población está dividida en tipos puros: una fracción $p^*$ son Halcones puros de por vida, el $1 - p^*$ restante son Palomas puras de por vida. Cada individuo es determinista; la población es la mezcla. La variación vive entre animales, no dentro de ellos.

Y aquí está el giro: en el modelo estándar estos dos cuadros son teóricamente equivalentes en términos de juego. Generan la misma frecuencia poblacional de jugadas de Halcón, los mismos pagos esperados, el mismo equilibrio. Las matemáticas no pueden distinguirlos. Pero biológicamente son afirmaciones distintas sobre el mundo — ¿la variación que observas se genera dentro de cada individuo (Cara 1) o entre individuos distintos (Cara 2)? Esa es una pregunta empírica con una respuesta real.

Y la naturaleza ha emitido su voto. Los casos reales se inclinan con fuerza hacia el polimorfismo. El lagarto de manchas laterales tiene tres morfos de color de garganta discretos y heredados; los peces comeescamas de izquierda/derecha (los conocerás en la próxima lección) vienen en dos tipos fijos de asimetría de boca. Son estrategias puras y heredables portadas por individuos distintos — no un animal lanzando en privado una moneda antes de cada pelea. Cuando veas una mezcla estable en la naturaleza, tu conjetura por defecto debería ser normalmente un polimorfismo de tipos puros, no una población de apostadores idénticos.

Repaso