La prueba de invasión

Una estrategia evolutivamente estable (evolutionarily stable strategy, ESS) es un comportamiento que, una vez que casi todo el mundo en una población lo practica, no puede ser expulsado por un recién llegado raro que hace otra cosa. Es una frase preciosa. También es, por sí sola, inútil — porque “no puede ser expulsado” suena a intuición, y la evolución no funciona con intuiciones. Funciona con pagos (payoffs), y los pagos son números.

Así que esta lección tiene exactamente una misión: coger la frase “no puede ser invadida” y convertirla en una desigualdad que puedas comprobar. Dos líneas de aritmética, una condición de mejor respuesta y un desempate, y podrás mirar cualquier estrategia y decir — no adivinar, decir — si un mutante podría llegar alguna vez a hacer pie.

El escenario: residentes, mutantes y E(A, B)

Antes de cualquier desigualdad, necesitamos una pieza de notación, y nos apoyaremos en ella durante el resto del curso. Escribe E(A, B) para el pago que obtiene un jugador que usa la estrategia A cuando su oponente usa la estrategia B. Primera casilla: tú. Segunda casilla: ellos. Esa es toda la gramática.

Ahora nombra al reparto:

• I — el residente (o titular): la estrategia que casi todo el mundo ya juega. Piénsala como la costumbre local.
• J — un mutante raro: alguna estrategia recién llegada, J ≠ I, que acaba de aparecer en una porción minúscula de la población.

La pregunta de todo el campo de la teoría de juegos evolutiva, reducida a lo esencial: si la población es básicamente todo I con un susurro de J, ¿crece J o se encoge? Si siempre se encoge — para cualquier J posible — entonces I es una ESS. Es una fortaleza que ningún tipo de mutante individual puede asaltar.

Por qué “raro” es todo el juego

Una ESS se define frente a mutantes raros — formalmente, en el límite cuando la fracción de mutantes se encoge hacia cero — y frente a un tipo de mutante a la vez. Esto no es un tecnicismo para pasar de largo; es la suposición que sostiene todo el edificio. “Evolutivamente estable” significa localmente no invadible: a salvo de cualquier recién llegado solitario que aparezca en números pequeños. No promete que la población sea globalmente la mejor, la más feliz o la más eficiente. (Guarda esa idea — morderá en el primerísimo ejemplo resuelto.)

Derivar la prueba a partir de la aritmética de poblaciones

Aquí está la parte bonita: no tienes que memorizar la definición de ESS. Puedes derivarla a partir de un cálculo honesto de aptitud, y luego leer la definición directamente de la aritmética.

Sea la población una fracción (1 − ε) de residentes jugando I y una fracción pequeña ε de mutantes jugando J, donde ε (épsilon) es minúscula. Un oponente elegido al azar es un residente con probabilidad (1 − ε) y un mutante con probabilidad ε. Así que la aptitud esperada de cada tipo es simplemente una media ponderada sobre a quién podría encontrarse:

$W(I) = (1-\varepsilon)\,E(I,I) + \varepsilon\,E(I,J)$

$W(J) = (1-\varepsilon)\,E(J,I) + \varepsilon\,E(J,J)$

El residente I resiste la invasión exactamente cuando se reproduce más que el mutante — cuando W(I) > W(J) para toda ε > 0 pequeña. Miremos de verdad esa comparación a medida que ε se encoge hacia cero.

Los términos dominantes. A medida que ε → 0, los pesos (1 − ε) engullen a los pesos ε. Así que la comparación se decide primero por los términos grandes: E(I, I) frente a E(J, I). Para que I tenga alguna esperanza, necesitas

$E(I,I) \ge E(J,I).$

Se derivan dos casos, y son las dos condiciones:

• Si esa desigualdad es estricta — E(I, I) > E(J, I) — entonces para una ε lo bastante pequeña, W(I) > W(J) pase lo que pase en los términos minúsculos de ε. El residente gana de forma rotunda. Esta es la Condición 1.
• Si es una igualdad — E(I, I) = E(J, I), un empate en el término grande — entonces los términos grandes se cancelan y la decisión recae en los términos de ε. Ahí, I gana si y solo si E(I, J) > E(J, J). Esta es la Condición 2.

Esa es la definición entera de ESS, y acabamos de encontrarla en lugar de declararla.

Fíjate en la forma: la Condición 1 trata del enfrentamiento común (todos-contra-residente), y la Condición 2 es la letra pequeña para cuando ese enfrentamiento común es un empate, decidido por el enfrentamiento raro (mutante-contra-mutante). El término grande primero; si empata, el término pequeño lo rompe.

Cuándo echar mano de esta derivación

Siempre que alguien te entregue una “definición” de ESS como un par de desigualdades para memorizar, puedes regenerarla en treinta segundos a partir de W(I) > W(J) y la frase “término grande primero, luego el desempate”. Entender por qué existen las dos condiciones — una para el enfrentamiento dominante, otra para el raro — es lo que te permite aplicarlas sin dudar de qué casilla va dónde.

Ejemplo resuelto A: Desertar Siempre es una ESS en el dilema del prisionero de una tirada

Es hora de dejar de admirar la definición y meter números. Recuerda los pagos del dilema del prisionero de una tirada de cursos anteriores, con T > R > P > S y los valores estándar T = 5, R = 3, P = 1, S = 0.

Sea el residente AllD (“Desertar Siempre”, Always Defect). Toda una población deserta. Ahora aparece un mutante raro AllC (“Cooperar Siempre”, Always Cooperate). Ejecuta la prueba.

Los enfrentamientos relevantes, todos contra el mar de desertores:

Comprueba la Condición 1: ¿es E(I, I) > E(J, I)? Eso es 1 > 0. Sí — de forma estricta. Un residente que puntúa 1 contra la multitud le gana a un mutante que puntúa 0 contra la misma multitud. Ni siquiera necesitamos la Condición 2; la condición de mejor respuesta estricta ya cierra la puerta de golpe. AllD es una ESS.

Ejemplo resuelto B: Cooperar Siempre NO es una ESS

Ahora la imagen especular. El residente es AllC; todos cooperan, la vida es preciosa. Aparece un mutante raro AllD. Ejecuta la misma prueba de dos filas:

Comprueba la Condición 1: ¿es E(I, I) > E(J, I)? Eso es 3 > 5. No. De hecho E(I, I) < E(J, I) — al mutante le va estrictamente mejor contra los residentes que a los propios residentes. La Condición 1 falla con estrépito.

¿La rescata la Condición 2? No — la Condición 2 solo se aplica cuando hay un empate en el enfrentamiento principal, E(I, I) = E(J, I). Aquí 3 ≠ 5, así que no hay empate que romper. No se cumple ninguna condición. AllC no es una ESS — un único desertor gana una prima de crecimiento y la mutación se propaga. El precioso mundo de cooperación total se lo comen desde dentro.

Ejemplo resuelto C: cuando el desempate se gana de verdad el sueldo

Ambos ejemplos hasta ahora se resolvieron en la línea uno. Para ver a la Condición 2 hacer trabajo de verdad, necesitamos un enfrentamiento que empate. Imagina una convención de tipo coordinación — digamos, dos formas de hacer la misma cosa que pagan igual de bien cuando te encuentras con los lugareños. Aquí están los pagos para el jugador de la fila:

Lee los cuatro números que necesitamos. Residente I, mutante J:

• E(I, I) = 2 — residente se encuentra con residente.
• E(J, I) = 2 — mutante se encuentra con residente. ¡Empate con E(I, I)!
• E(I, J) = 2 — residente se encuentra con mutante.
• E(J, J) = 0 — mutante se encuentra con mutante.

Condición 1: ¿es E(I, I) > E(J, I)? Eso es 2 > 2 — falso. Es un empate, no una victoria estricta. Así que la línea uno no puede salvar a I, y una definición más perezosa (“basta con ser una mejor respuesta a ti mismo”) se encogería de hombros y lo daría por zanjado.

Condición 2: el empate nos manda a la letra pequeña. Necesitamos E(I, J) > E(J, J), es decir 2 > 0. ¡Verdadero! Así que I sí es una ESS después de todo — rescatada por completo por la segunda línea.

La historia detrás de los números es deliciosa. El mutante J es un impostor perfecto contra la multitud: puntúa 2 contra los residentes, exactamente como lo haría un residente, así que se cuela sin penalización. Pero J tiene un defecto fatal que solo sale a la luz cuando dos mutantes se encuentran por casualidad — entonces puntúan un mísero 0 en lugar de 2. A medida que los mutantes se vuelven aunque sea un poco más comunes, esos encuentros mutante-sobre-mutante empiezan a ocurrir, y J sangra aptitud. Los residentes, mientras tanto, siguen puntuando 2 incluso contra los mutantes. Así que J nunca puede ganar tracción. El enfrentamiento raro consigo mismo es la trampa que se cierra sobre el invasor.

Cuándo echar mano de la Condición 2

Siempre que el enfrentamiento principal termine en empate. Los juegos de coordinación, las convenciones y los problemas de “por-qué-lado-de-la-carretera” producen constantemente empates en E(I, I) = E(J, I), porque el sentido mismo de una convención es que la alternativa paga igual mientras todo el mundo siga haciendo lo de siempre. En exactamente esos casos, la línea uno guarda silencio y el desempate es lo único que se interpone entre “costumbre autoimpuesta” y “a una deriva del colapso”.

Trampas: cómo se usa mal la prueba de invasión

Tres formas en que la gente lista tropieza con esta prueba:

1. Afirmar la estabilidad en lugar de ganársela. “Obviamente ese comportamiento es evolutivamente estable” no es un argumento. Debes nombrar los pagos y meter números. Todo el valor de la prueba de invasión es que reemplaza la intuición con E(I, I) frente a E(J, I). Si no has escrito esos números, no has comprobado nada.

2. Confundir la no invadibilidad local con la optimalidad global. Una ESS está a salvo de mutantes raros, un tipo a la vez. Eso es todo. No dice nada sobre si la población es eficiente, justa o feliz — AllD es la Prueba A. Nunca asciendas “estable” a “lo mejor”.

3. Confundir la condición de Nash con la condición de ESS. Mejor-respuesta-a-sí-misma — E(I, I) ≥ E(J, I), con una desigualdad débil — es precisamente la condición de equilibrio de Nash. Es necesaria para una ESS pero no suficiente. La ESS exige más: o una victoria estricta en el enfrentamiento principal, o el desempate de la Condición 2 encima. La comparación completa de Nash y ESS es la próxima lección; por ahora, simplemente no trates “es Nash” como “es una ESS”.

Cuándo echar mano de la prueba de invasión

Siempre que puedas escribir pagos que dependan de contra quién te enfrentas — el tipo del oponente — la prueba de invasión te dice qué comportamientos, convenciones o estrategias son autoimpuestos. Eso cubre un rango enorme: contiendas animales (¿luchar o huir?), señalización, convenciones de mercado, normas sociales, el lado de la carretera por el que conduces. Si puedes rellenar una matriz de pagos, puedes ejecutar E(I, I) frente a E(J, I), añadir el desempate si empata, y pronunciar un veredicto sobre la estabilidad. La prueba es pequeña; su alcance no.

Resumen