La fuerza de la evidencia: el cociente de verosimilitud

La lección pasada dejó una pieza dentro de una caja negra. En la forma de cuotas — cuotas posteriores = cuotas previas × cociente de verosimilitud — las cuotas previas normalmente las puedes estimar, y multiplicar es pura aritmética. Pero ese término del medio, el cociente de verosimilitud (likelihood ratio), es la parte que de verdad dice con cuánta fuerza debería golpearte una pista. Dos piezas de evidencia pueden «apuntar en la misma dirección» mientras una te empuja un pelín y la otra le da la vuelta a toda tu creencia. La diferencia entre ambas la captura por completo un único número, y esta lección va de saber leerlo.

Esto es lo que nadie te cuenta sobre la evidencia: su fuerza no tiene casi nada que ver con lo confirmatoria que se siente. Una pista puede gritarle «¡culpable!» a tu instinto y valer esencialmente cero, mientras que un detalle anodino y técnico zanja el caso en silencio. El instinto mide la viveza; el cociente de verosimilitud mide la diagnosticidad — y solo uno de los dos sigue la pista de la verdad. Al terminar esta lección serás capaz de mirar cualquier pista y hacerte la única pregunta que importa: no «¿esto encaja con mi teoría?» sino «¿cuánto mejor encaja con mi teoría que con la alternativa?».

Esa segunda pregunta es todo el juego. Agárrala fuerte; dedicaremos el resto de la lección a ganárnosla.

Un solo número para la fuerza de una pista

Formalmente, la fuerza de una pieza de evidencia es su cociente de verosimilitud (likelihood ratio, LR):

$\text{LR} = \frac{P(E \mid H)}{P(E \mid \lnot H)}$

En palabras: cuántas veces más probable es la evidencia $E$ si tu hipótesis $H$ es cierta que si es falsa. Es el mismo cociente de verosimilitud que conociste en la forma de cuotas de la lección pasada — y es la fuerza entera de una pista, comprimida en un único número. Todo lo relativo a «¿cuánto debería moverme esto?» vive aquí. Recuerda la regla que ya demostraste: cuotas posteriores = cuotas previas × LR. El prior es dónde estabas; el LR es con cuánta fuerza empuja la nueva pista.

La escala es maravillosamente intuitiva en cuanto ves dónde se sienta el $1$:

• LR = 1 → la evidencia es exactamente igual de probable tanto si $H$ es cierta como si es falsa. Es no diagnóstica — inútil. Multiplica tus cuotas por $1$ y no pasa nada. (Es el caso de «la evidencia inútil no mueve nada» de la forma de cuotas.)
• LR > 1 → evidencia a favor de $H$. Cuanto mayor el número, con más fuerza apunta. LR = 2 duplica tus cuotas; LR = 100 las multiplica por cien.
• LR < 1 → evidencia en contra de $H$. Un LR de $\tfrac{1}{10} = 0.1$ reduce tus cuotas a una décima parte. (La evidencia a favor de $H$ es automáticamente evidencia en contra de $\lnot H$, y viceversa.)
• LR muy grande o muy pequeño → evidencia fuerte, en la dirección que sea.

Una idea aproximada de las magnitudes, con una pista concreta para cada una:

Fíjate en que la tabla es simétrica en espíritu: un LR de $\tfrac{1}{100}$ es exactamente igual de fuerte que un LR de $100$ — solo que apunta en la otra dirección. La fuerza va de la distancia respecto a 1, en cualquier dirección.

Diagnóstica frente a inútil: todo está en la alternativa

Esta es la idea más importante de la lección, y sale directamente de la fórmula. El denominador $P(E \mid \lnot H)$ — lo probable que es la evidencia bajo la alternativa — es lo que hace o deshace una pista. La evidencia fuerte tiene que ser improbable bajo la alternativa. Si algo es común tanto si tu hipótesis se cumple como si no, no puede discriminar entre las dos, y el cociente se desploma hacia 1.

Coge las dos pistas del detective del pretest, en números. Supón que casi todos los hogares tienen un cuchillo de cocina — de modo que $P(\text{tiene cuchillo} \mid \text{culpable}) \approx 0.95$ y $P(\text{tiene cuchillo} \mid \text{inocente}) \approx 0.90$. El cociente de verosimilitud:

$\text{LR}_{\text{knife}} = \frac{0.95}{0.90} \approx 1.06$

Apenas por encima de 1. La «prueba irrefutable» de tener un cuchillo multiplica tus cuotas de culpabilidad por unos $1.06$ — un error de redondeo. Se siente incriminatoria porque conecta al sospechoso con el arma, pero es casi inútil, porque es casi igual de probable en una persona inocente.

Ahora la huella de suela rara. Digamos que un sospechoso culpable que estuvo en la escena deja ese dibujo con probabilidad $P(E \mid \text{culpable}) \approx 0.9$, mientras que una persona inocente cualquiera resulta tener ese dibujo raro con probabilidad $P(E \mid \text{inocente}) \approx 0.002$ (menos de 1 de cada 500 zapatos):

$\text{LR}_{\text{print}} = \frac{0.9}{0.002} = 450$

Un LR de 450. Esa sí es una pista que se gana el sueldo — no porque encaje mejor con la culpa (ambas pistas encajan bien con la culpa) sino porque es rara bajo la inocencia. Toda la diferencia entre una pista inútil y una decisiva vive en el denominador.

Pistas débiles, multiplicadas

Una sola pista débil te mueve poco. Pero las pistas débiles se apilan — y en forma de cuotas, apilar no es más que multiplicar. Si las pistas son independientes, encadenas sus cocientes de verosimilitud:

$\text{cuotas posteriores} = \text{cuotas previas} \times \text{LR}_1 \times \text{LR}_2 \times \text{LR}_3 \times \cdots$

Cada nueva pista es otro factor. Así que una sarta de pistas individualmente nada impresionantes puede multiplicarse hasta una conclusión fuerte. Supón que partes de cuotas a la par, $1 : 1$, de que un correo concreto es spam, y llegan tres señales débiles — cada una con un cociente de verosimilitud de unos $3$ (la palabra «ganador», un dominio de remitente desconocido, un enlace sospechoso):

$\underbrace{1 : 1}_{\text{cuotas previas}} \times 3 \times 3 \times 3 = 27 : 1$

Tres pistas olvidables, cada una apenas digna de una segunda mirada por sí sola, se multiplican hasta unas cuotas de 27 : 1 — alrededor de un $\tfrac{27}{27+1} \approx 96\%$ de probabilidad de que sea spam. Así es exactamente como un filtro de spam de Bayes ingenuo «condena» un correo: ninguna palabra suelta es prueba, pero suficientes palabras ligeramente sospechosas se multiplican más allá de cualquier umbral razonable. Los detectives, los médicos apilando síntomas y los tribunales de contratación combinando señales débiles hacen funcionar el mismo motor.

Una salvedad crucial, a la que dedicamos la próxima lección entera: las pistas tienen que ser independientes. Si dos «pistas» son en realidad el mismo hecho con dos disfraces — pongamos, dos testigos que solo oyeron la historia el uno del otro — multiplicar ambos LR cuenta dos veces la evidencia y se pasa de largo de forma salvaje. Diseccionaremos esa trampa en la lección 5; por ahora, basta con marcar que multiplicar da por hecho que las pistas son genuinamente separadas.

Usa el deslizador para sentir la fuerza de la evidencia

El cociente de verosimilitud no es más que la tasa de verdaderos positivos dividida entre la tasa de falsos positivos — la sensibilidad entre la tasa de falsas alarmas. Arrastra esas dos y mira cómo un cociente más fuerte aleja más el posterior del prior. Mismo prior, mismo resultado positivo; lo único que cambia es la fuerza de la pista.

Al principio, $\text{LR} = \tfrac{90}{45} = 2$: un positivo empuja un prior del 10% hasta solo un 18% aproximadamente. Baja la tasa de falsos positivos al 9% y $\text{LR} = \tfrac{90}{9} = 10$: el mismo positivo ahora te lleva hasta más o menos un 53%. El prior nunca se movió y la prueba sigue habiendo «dado positivo» — lo único que cambió es lo improbable que es ese positivo bajo la alternativa, que es la fuerza entera de la evidencia.

Las afirmaciones extraordinarias exigen evidencia extraordinaria

Esta es la conclusión más práctica del curso, y es Bayes puro. La máxima — de Laplace, popularizada por Hume, Sagan y Truzzi como «las afirmaciones extraordinarias exigen evidencia extraordinaria» — no es un eslogan sobre escepticismo. Es una lectura directa de cuotas posteriores = cuotas previas × LR. Una afirmación extraordinaria tiene, por definición, cuotas previas minúsculas. Para arrastrar esas cuotas diminutas hasta algo creíble, el cociente de verosimilitud tiene que ser enorme — extraordinario — para compensar.

Vamos a desarrollarlo. Supón que alguien afirma ser genuinamente vidente, y pones las cuotas previas de una capacidad vidente real en torno a $1$ entre mil millones, es decir, $1 : 1{,}000{,}000{,}000$. Acto seguido pasa una prueba que solo superaría el $1\%$ de las veces un farsante — ¡suena impresionante! Eso es un cociente de verosimilitud de aproximadamente:

$\text{LR} = \frac{P(\text{passes} \mid \text{psychic})}{P(\text{passes} \mid \text{faking})} \approx \frac{1}{0.01} = 100$

Un LR de 100 es evidencia genuinamente fuerte en la vida cotidiana. Pero pásalo contra este prior:

$\underbrace{1 : 1{,}000{,}000{,}000}_{\text{cuotas previas}} \times 100 = 100 : 1{,}000{,}000{,}000 = 1 : 10{,}000{,}000$

Tras «superar» la prueba, las cuotas de una capacidad vidente real siguen siendo $1$ entre $10$ millones. La pista de apariencia fuerte apenas hizo mella en la afirmación, porque estaba peleando contra un prior de mil millones a uno en contra. Para llegar siquiera a cuotas a la par — $1 : 1$ — necesitarías:

$\text{LR} = 1{,}000{,}000{,}000$

Un cociente de verosimilitud de unos mil millones. Eso significa evidencia tan específica que esencialmente nunca aparecería si la persona estuviera fingiendo — $P(E \mid \text{faking})$ del orden de uno entre mil millones. La evidencia «impresionante» corriente (un LR de unos pocos cientos) no se acerca ni de lejos. Ese es todo el contenido de la máxima: no es que las afirmaciones extraordinarias estén prohibidas, es que el listón para el cociente de verosimilitud escala con lo pequeño que sea el prior.

Cuándo recurrir a él

Recurre al cociente de verosimilitud siempre que te pilles a punto de dejarte mover por una pista — un detalle incriminatorio, una referencia entusiasta, una estadística que asusta, una afirmación viral. Antes de dejar que te desplace, haz dos comprobaciones rápidas. Primero, la comprobación de diagnosticidad: «¿cuán probable sería ver esto exacto si mi hipótesis fuera falsa?». Si es «más o menos igual de probable», el LR ronda 1 y deberías ignorar la pista, por vívida que sea. Segundo, la comprobación de lo extraordinario: ante cualquier afirmación con un prior minúsculo, pregúntate si la evidencia es lo bastante extraordinaria — ¿sería casi imposible bajo la alternativa aburrida? — antes de dejar que te arrastre. Y cuando llegan varias pistas genuinamente independientes, multiplica sus LR para combinarlas. Estos tres movimientos — juzgar por la alternativa, escalar el listón al prior, multiplicar las independientes — son el núcleo práctico de sopesar la evidencia.

Hacia dónde va esto

Ya puedes leer la fuerza de una pista directamente de su cociente de verosimilitud, detectar evidencia inútil comprobando la alternativa, multiplicar pistas independientes hasta una conclusión fuerte y ver por qué un prior minúsculo exige evidencia extraordinaria. Ese es el motor funcionando correctamente. A continuación, en «Dónde se tuerce la actualización», lo vemos romperse: gente que deja caer el prior y trata la evidencia como la respuesta entera, la falacia inversa de confundir $P(E \mid H)$ con $P(H \mid E)$, el doble conteo de «pistas» correlacionadas que no son de verdad independientes (la salvedad que marcamos en la sección de encadenado) y la negativa tozuda a actualizar siquiera. Conocer los modos de fallo es lo que convierte una fórmula en juicio.