El teorema de Bayes: la ecuación y su gemela más simpática

En la última lección resolvisteis la prueba médica contando personas a través de un árbol. Ese recuento era el teorema de Bayes (Bayes’ theorem) desde el principio — la famosa ecuación no es más que la contabilidad del mismísimo conteo que ya hicisteis. Así que esta lección no trae ideas nuevas, solo notación nueva: ponemos nombre a las piezas, escribimos la fórmula y luego — la parte que de verdad te cambia la vida — conocemos una segunda forma de ella tan fácil que puedes actualizar de cabeza mientras alguien sigue hablando.

Primero, las cuatro piezas, en los símbolos que usa todo el mundo. Sea $H$ la hipótesis (“tengo la enfermedad”) y $E$ la evidencia (“la prueba dio positivo”).

• $P(H)$ — el prior: cómo de probable era $H$ antes de la evidencia. (Nuestra tasa base, $0.001$.)
• $P(E \mid H)$ — la verosimilitud (likelihood): cómo de probable es la evidencia si la hipótesis es verdadera. Lee la barra como “dado”. (Nuestra tasa de verdaderos positivos, $0.99$.)
• $P(E \mid \lnot H)$ — la verosimilitud de la evidencia si la hipótesis es falsa. (Nuestra tasa de falsos positivos, $0.01$; $\lnot H$ significa “no $H$”.)
• $P(H \mid E)$ — la probabilidad posterior (posterior): cómo de probable es la hipótesis después de la evidencia. El número que queremos.

La fórmula, leída del árbol

Aquí está el teorema de Bayes:

$P(H \mid E) = \frac{P(E \mid H)\,P(H)}{P(E)}$

En palabras: la posterior es igual a la verosimilitud por el prior, dividido entre cómo de probable era la evidencia en conjunto. Ese denominador $P(E)$ — la probabilidad total de la evidencia, venga de quien venga — no es más que las dos formas en que la evidencia puede aparecer, sumadas:

$P(E) = P(E \mid H)\,P(H) + P(E \mid \lnot H)\,P(\lnot H)$

Ahora mira cómo esto se corresponde exactamente con las personas que contaste la última lección. El numerador $P(E \mid H)\,P(H) = 0.99 \times 0.001 = 0.00099$ es la rama de verdaderos positivos — 99 personas de cada 100.000. El segundo término del denominador $P(E \mid \lnot H)\,P(\lnot H) = 0.01 \times 0.999 = 0.00999$ es la rama de falsos positivos — 999 personas. Así que:

$P(H \mid E) = \frac{0.00099}{0.00099 + 0.00999} = \frac{0.00099}{0.01098} \approx 0.090$

Es el mismo 99 ÷ 1.098 ≈ 9% que obtuviste contando. Las fracciones son las personas, divididas entre 100.000 arriba y abajo, de modo que el 100.000 se cancela. La fórmula y el árbol son el mismo objeto. Si los símbolos se te escurren alguna vez, vuelve a contar personas — esas no pueden mentirte jamás.

La gemela más simpática: la forma de cuotas

La fórmula de arriba es correcta pero aparatosa — ese denominador es un incordio. Hay una segunda forma de escribir Bayes que se deshace del denominador por completo, y es la que los profesionales usan de verdad. El truco está en dejar de pensar en probabilidades y pensar en cuotas (odds) (que conocisteis en el curso anterior: unas cuotas de 3:1 en contra de la lluvia significan 3 “no” por cada 1 “sí”).

En forma de cuotas, el teorema de Bayes se convierte en una sola multiplicación:

$\underbrace{\frac{P(H \mid E)}{P(\lnot H \mid E)}}_{\text{cuotas posteriores}} = \underbrace{\frac{P(H)}{P(\lnot H)}}_{\text{cuotas previas}} \times \underbrace{\frac{P(E \mid H)}{P(E \mid \lnot H)}}_{\text{cociente de verosimilitud}}$

Dilo como una frase y es inolvidable: cuotas previas × cociente de verosimilitud = cuotas posteriores. Coges cómo estaba la apuesta antes, multiplicas por con cuánta fuerza apunta la evidencia y ya tienes cómo está la apuesta ahora. Sin denominador, sin sumar fracciones — una sola multiplicación. Ese término del medio, el cociente de verosimilitud (likelihood ratio) (cuánto más probable es la evidencia bajo $H$ que bajo $\lnot H$), es toda la fuerza de la evidencia condensada en un número, y se lleva una lección entera a continuación.

Pásale la prueba médica:

• Cuotas previas de enfermedad: $0.001 : 0.999$, o aproximadamente $1 : 1000$ (1 enfermo por cada 1000 sanos).
• Cociente de verosimilitud: $\dfrac{P(\text{positivo}\mid\text{enfermo})}{P(\text{positivo}\mid\text{sano})} = \dfrac{0.99}{0.01} = 99$. Un positivo es 99 veces más probable en una persona enferma que en una sana.
• Cuotas posteriores: $1 : 1000$ por $99$ da $99 : 1000$ — unos 99 enfermos por cada 1000 sanos entre los positivos.

Convierte $99 : 1000$ de vuelta a probabilidad: $\dfrac{99}{99 + 1000} = \dfrac{99}{1099} \approx 0.090$, el 9% otra vez. Tres rutas — contar personas, la fórmula de la probabilidad, la forma de cuotas — una sola respuesta. La forma de cuotas es la que puedes hacer en una servilleta.

Ejemplo resuelto: el problema de los taxis, en cuotas

Vamos a correr un caso nuevo de principio a fin para demostrar que la forma de cuotas no es un truco de una sola vez. Los taxis de una ciudad son 85% Verdes, 15% Azules. Un taxi protagoniza un atropello con fuga nocturno. Un testigo dice que era Azul, y en las pruebas ese testigo identifica correctamente el color de un taxi el 80% de las veces (y se equivoca el 20%). ¿Cómo de probable es que el taxi fuera de verdad Azul?

La intuición grita “80% — lo ha dicho el testigo”. Bayes dice otra cosa. Sea $H$ = “el taxi era Azul”, $E$ = “el testigo dijo Azul”.

• Cuotas previas (Azul : Verde) $= 15 : 85$, es decir, $3 : 17$.
• Cociente de verosimilitud $= \dfrac{P(\text{dice Azul}\mid\text{Azul})}{P(\text{dice Azul}\mid\text{Verde})} = \dfrac{0.80}{0.20} = 4$. (Si el taxi es Verde, el testigo dice Azul por error el 20% de las veces.)
• Cuotas posteriores $= 3 : 17$ por $4 = 12 : 17$.
• Como probabilidad $= \dfrac{12}{12 + 17} = \dfrac{12}{29} \approx 0.41$, alrededor del 41%.

Así que aunque un testigo que acierta el 80% de las veces dijera Azul, sigue siendo más probable que el taxi fuera Verde — porque los taxis Verdes son tan comunes que los errores ocasionales del testigo sobre ellos (decir “Azul” por equivocación) se acumulan más rápido que los avistamientos genuinos de Azul. La tasa base (las cuotas previas) se niega a que la ignoren, exactamente igual que en la prueba médica. La misma lección, otro disfraz.

Las piezas, en una tabla

Ten esto a mano hasta que el vocabulario sea automático:

Cuándo recurrir a ella

Recurre a la forma de cuotas siempre que quieras actualizar rápido o repetidamente — una ristra de pistas en una negociación, varios síntomas que apuntan a un diagnóstico, múltiples valoraciones independientes de una contratación. Estima tus cuotas previas, pregúntale a cada pista nueva “¿cuánto más probable es esto si tengo razón que si me equivoco?” (eso es el cociente de verosimilitud) y multiplica. Recurre a la fórmula completa (o al árbol) cuando quieras la probabilidad posterior exacta para una sola pieza de evidencia, o cuando necesites mostrar el desarrollo. Son el mismo teorema; elige la forma que encaje con la tarea.

Hacia dónde va esto

Ya sabes escribir Bayes de tres formas y correrlo en cuotas sobre una servilleta. Una pieza sigue siendo una caja negra, eso sí: ese cociente de verosimilitud del medio — el número que dice con qué fuerza apunta de verdad una pista. A continuación, en “La fuerza de la evidencia”, lo abrimos: qué hace que una evidencia sea diagnóstica frente a inútil, por qué un cociente de verosimilitud cercano a 1 significa “ignora esto”, cómo las pistas débiles se multiplican hasta dar conclusiones fuertes, y de dónde sale la regla las afirmaciones extraordinarias exigen evidencia extraordinaria — es un cociente de verosimilitud peleando contra un prior diminuto.