Prior, verosimilitud, posterior: los tres ingredientes

Toda actualización bayesiana — la prueba médica, el veredicto del jurado, la conjetura de «¿se habrá retrasado mi vuelo?» — se cocina con exactamente tres ingredientes. Aprende sus nombres una sola vez y dejas de ver una niebla de probabilidades para empezar a ver una receta: lo que creías antes, cómo de bien encaja la nueva evidencia y la creencia con la que te quedas después. Eso es todo. Tres piezas, un solo movimiento, usos infinitos.

La lección de introducción os prometió estos tres por su nombre — el prior, la verosimilitud (likelihood), la probabilidad posterior (posterior) — y dejó caer la idea de que se combinan. Esta lección frena el ritmo y os entrega cada uno por separado, porque casi cualquier error de razonamiento de todo el curso no es más que agarrar el ingrediente equivocado u olvidar uno por completo. El paciente que entró en pánico no falló en la aritmética; soltó el prior. Nombra los ingredientes con suficiente claridad y su error se vuelve obvio antes de calcular un solo número.

Una promesa rápida sobre las matemáticas: sí existe una fórmula exacta que une estos tres de golpe, y tiene su propia lección entera (la lección 3, «El teorema de Bayes»). Aquí nos quedamos en lenguaje llano. Vuestro único trabajo de hoy es reconocer las tres piezas en libertad y sentir — con palabras — cómo se combinan.

El prior: donde empiezas

El prior, escrito $P(H)$, es tu creencia en una hipótesis antes de que llegue la nueva evidencia. Es la respuesta a «¿qué probabilidad había de esto, de entrada?». La palabra clave es antes — el prior es tu línea de salida, y nunca, jamás, tienes permiso para partir de una pizarra en blanco. Toda actualización empieza desde un prior, incluso cuando no lo elegiste conscientemente.

¿De dónde sale el prior? Normalmente directo de la lección de tasas base: es el ancla de la visión exterior, lo común que es la cosa en la multitud relevante. El 1 entre 1,000 de la enfermedad era un prior. «La mayoría de los restaurantes nuevos cierran antes de cinco años» es un prior. El prior es la tasa base (base rate), ahora con sombrero bayesiano y esperando a que la evidencia la empuje.

En nuestro ejemplo de las monedas, el prior no podría estar más limpio. Tu amigo saca una moneda al azar de una bolsa de dos, así que antes de cualquier lanzamiento, la moneda trucada y la moneda justa son igual de probables: el prior es 50/50. $P(\text{trucada}) = 0.5$. Esa es la creencia contra la que el lanzamiento está a punto de empujar.

La verosimilitud: cómo de bien encaja la evidencia

Ahora llega la evidencia. La verosimilitud, escrita $P(E \mid H)$, pregunta: si la hipótesis fuera cierta, cómo de esperable sería esta evidencia? Lee esa barra $\mid$ en voz alta como la palabra «dado». $P(E \mid H)$ es «la probabilidad de la Evidencia, dada la Hipótesis cierta». Corre hacia delante: asume la hipótesis y luego pregunta cómo de natural se ve la evidencia desde dentro de ese mundo.

Hay un gemelo que no puedes saltarte: $P(E \mid \lnot H)$, la verosimilitud con la hipótesis siendo falsa ($\lnot$ significa «no»). «Si la hipótesis fuera falsa, cómo de esperable sería esta misma evidencia?» La evidencia solo es útil cuando estas dos difieren — cuando la pista es mucho más esperable en un mundo que en el otro. Si una pista es igual de probable tanto si la hipótesis es cierta como si no, no te dice nada, por dramática que se sienta.

Volvamos a las monedas. La evidencia es una cara. ¿Cómo de esperable es cara en cada mundo?

• Si tiene la moneda trucada: cara está garantizada. $P(\text{cara} \mid \text{trucada}) = 1$.
• Si tiene la moneda justa: cara la mitad de las veces. $P(\text{cara} \mid \text{justa}) = 0.5$.

Así que cara es el doble de probable que venga de la moneda trucada que de la justa. Esa razón — 1 frente a 0.5 — es todo el contenido informativo del lanzamiento. Es lo que sacará de su centro tu prior 50/50.

La posterior: donde aterrizas

La posterior, escrita $P(H \mid E)$, es tu creencia actualizada en la hipótesis después de tener en cuenta la evidencia. Es la recompensa — la creencia más afinada que obtienes al combinar el prior con la verosimilitud. Fíjate en que tiene la misma barra de «dado» que la verosimilitud, pero al revés: $P(H \mid E)$ es «probabilidad de la Hipótesis, dada la Evidencia». Ese es el número que de verdad querías desde el principio.

¿Cómo se combinan los dos ingredientes? En una frase informal sobre la que descansa todo el curso:

La posterior es proporcional a verosimilitud × prior.

En palabras: coge cómo de plausible era cada hipótesis de partida (prior), multiplica por cómo de bien predice la evidencia que viste (verosimilitud), y la hipótesis que puntúe más alto en ambas se lleva la mayor creencia. Una hipótesis necesita haber sido razonablemente probable y explicar bien la evidencia. (La ecuación exacta — lo que convierte «proporcional a» en «igual a» — es la lección 3. Resiste el impulso de calcularla aún; la intuición es lo que importa.)

Aterricemos la moneda. Cada mundo recibe una puntuación de verosimilitud × prior, y luego normalizamos para que las dos puntuaciones sumen 1:

Las dos puntuaciones son 0.50 y 0.25, que suman 0.75. La cuota de la moneda trucada es $0.50 / 0.75 = 2/3$. Así que tras una cara, deberías creer alrededor del 67% que es la moneda trucada — más que el 50%, pero ni de lejos seguro. El lanzamiento sí fue evidencia real (te movió del 50% al 67%), solo que no evidencia concluyente, porque la moneda justa puede fingir una cara.

Y las posteriors se encadenan. Supón que tu amigo lanza la misma moneda otra vez y sale cara por segunda vez. Tu creencia ya no es 50/50 — es el 2/3 que acabas de ganar. Ese 2/3 se convierte en tu nuevo prior, y actualizas de nuevo con la segunda cara. Pasa la misma maquinaria y aterrizas en 4/5 (80%). Cada posterior se convierte en el siguiente prior; la evidencia se apila. Este es el mismo motor de «la posterior de ayer es el prior de hoy» que verás impulsar la segunda prueba médica en la siguiente lección.

Detectar las tres piezas en libertad

Las monedas son limpias a propósito, pero los ingredientes están por todas partes. Entrena el reflejo en una situación de lo más corriente: un amigo llega 20 minutos tarde. ¿Está atrapado en el tráfico, o simplemente se le olvidó?

• Prior $P(H)$ — de entrada, ¿con qué frecuencia este amigo se queda de verdad atrapado en el tráfico frente a las veces que pasa de venir? Si es fiable pero conduce por una ruta congestionada, quizá habrías dicho un 70% «tráfico, no que pasa» antes de esta noche. Esa es tu creencia de partida.
• Verosimilitud $P(E \mid H)$ — la evidencia es «20 minutos tarde, sin mensaje». ¿Cómo de esperable es eso si está atrapado en el tráfico? Bastante esperable — conduciendo, no puede escribir con seguridad. Y el gemelo $P(E \mid \lnot H)$: ¿cómo de esperable es el mismo silencio si se le olvidó por completo? También bastante esperable — alguien a quien se le olvidó tampoco manda mensaje. La pista apenas distingue los dos mundos, así que es evidencia débil y no debería moverte mucho.
• Posterior $P(H \mid E)$ — combínalos: un prior alto en «tráfico» más evidencia débil y no distintiva te deja más o menos donde empezaste — aún inclinado hacia «tráfico», solo ligeramente abollado. Ahora imagina que la evidencia cambia a «te ha escrito lo siento muchísimo, se me ha ido del todo la cabeza». Esa pista es mucho más esperable si se le olvidó que si está conduciendo — un cociente de verosimilitud fuerte — y debería empujar tu posterior con fuerza hacia «se le olvidó».

La misma receta, sin monedas, sin medicina: nombra el prior, sopesa cómo de distinto encaja la evidencia en cada mundo, combina en una posterior. Una vez que sabes hacer esto con un amigo que llega tarde, puedes hacerlo con una oferta de trabajo, un diagnóstico o un titular.

Cuándo recurrir a ello

Recurre a estos tres nombres en el instante en que nueva evidencia aterrice sobre cualquier creencia que tengas — un resultado de prueba, una entrevista, un amigo que llega tarde, un rumor de mercado, un titular alarmante. El detonante es la sensación de «esto cambia las cosas». Antes de dejar que cambie nada, pasa la lista de verificación: ¿cuál era mi prior? (dilo en voz alta), ¿cuánto más esperable es esta evidencia si mi hipótesis es cierta que si es falsa? (la brecha de verosimilitud), y ¿dónde me deja eso? (la posterior). Nombrar las piezas cuesta cinco segundos y expone al instante los dos errores clásicos — soltar el prior y confundir la verosimilitud hacia delante con la respuesta hacia atrás.

Hacia dónde va esto

Ya tienes todo el vocabulario que habla el resto del curso: prior (donde empiezas, normalmente la tasa base), verosimilitud (cómo de bien encaja la evidencia con cada mundo — hacia delante, dada la hipótesis, y enfáticamente no la respuesta) y posterior (donde aterrizas, proporcional a verosimilitud × prior). Has visto los tres combinarse en una moneda, encadenarse a lo largo de dos lanzamientos y reaparecer en un amigo que llega tarde sin nada de matemáticas.

A continuación, en «La prueba médica», llevamos estos tres ingredientes al rompecabezas bayesiano más famoso de todos — una enfermedad rara, una prueba con un 99% de precisión, un resultado positivo — y encontramos una probabilidad real de solo en torno al 9%. Lo construirás con un árbol de frecuencias naturales que hace imposible olvidar el prior, manejarás una calculadora interactiva de posterior y verás la falacia inversa (la verosimilitud confundida con la posterior) quedar desmontada para siempre. El vocabulario que acabas de aprender es exactamente lo que convierte ese «truco» en algo obvio.