El valor esperado: pesar la apuesta entera

Una máquina tragaperras sabe exactamente lo que hace, y también lo sabe el casino que la compró. La máquina devuelve casi todo el dinero que recibe — 92 céntimos por cada euro, pongamos — lo cual parece casi generoso hasta que reparas en que el casino se queda los otros 8 céntimos de cada euro, para siempre, a lo largo de millones de tiradas. Ninguna tirada concreta te cuenta esto. Una tirada es una moneda al aire con confeti: a veces ganas mucho, normalmente no ganas nada, y el ruido ahoga la tendencia. El casino no mira la tirada. Mira el promedio, y el promedio es una máquina de imprimir el 8% de todo lo que cruza la puerta.

Ese promedio es el valor esperado (expected value), y aprender a calcularlo es la diferencia entre ser el jugador y ser la banca. Hasta ahora este curso te ha enseñado a leer una probabilidad (lección 01) y a anclarla a su tasa base (lección 02). Ahora ponemos un resultado sobre cada desenlace y combinamos ambas cosas en un único veredicto: a lo largo de muchos intentos, ¿merece la pena esta apuesta?

La forma de una línea de valorar una apuesta

Primero la analogía. Imagina que pudieras jugar una apuesta diez mil veces y luego repartir el total de las ganancias a partes iguales entre las diez mil jugadas. La parte por jugada con la que te marcharías — ese es el valor esperado de la apuesta. No es lo que pasa en ninguna tirada concreta (puede que ganes, puede que pierdas); es el promedio a largo plazo que vale cada tirada.

Con precisión: el valor esperado (expected value, EV) de una decisión es la suma de los resultados de todos los desenlaces posibles, cada uno ponderado por la probabilidad de que ocurra. Su disciplina de origen es la probabilidad y la teoría de la decisión, y la fórmula es una sola línea:

$EV = \sum_i p_i \times x_i$

donde $x_i$ es el resultado del desenlace $i$ y $p_i$ es su probabilidad (un número entre 0 y 1, de modo que todos los $p_i$ sumen 1). Tomas cada resultado, lo multiplicas por lo probable que es, y sumas los productos. Esa es toda la operación. El $\times$ hace el trabajo de verdad: encoge los resultados que es poco probable que obtengas y protege los que probablemente sí.

Un primer ejemplo diminuto. No pagas nada por tirar un dado justo de seis caras, y te pagan en euros igual al número que sale. Cada cara tiene probabilidad $1/6$. Vamos paso a paso:

El EV es $3.50 — que no es un resultado que puedas sacar nunca de verdad. No hay ningún 3.5 en un dado. Eso es lo primero que hay que interiorizar: el valor esperado es un promedio, no una predicción. Ninguna tirada concreta paga $3.50, y sin embargo $3.50 es exactamente lo que vale cada tirada a largo plazo. Si alguien te cobrara $3 por jugar a esto, deberías jugar todo el día; a $4, deberías marcharte.

Ahora gira esa misma máquina hacia la lotería del pretest. Los números están diseñados para parecer generosos y desangrarte de todos modos.

Lee la columna de aportación. El resultado del bote es gigantesco — $10,000,000 — pero multiplicado por su probabilidad ($0.0000001$) aporta apenas $1 a la suma. El desenlace «nada» aporta $0. Así que el EV del boleto es $1, y cuesta $2. Valor esperado neto: −$1 por boleto. Compra un boleto al día durante toda la vida y el promedio a largo plazo es que cada mañana prendes fuego a un euro. Por eso a la lotería a veces se la llama un impuesto sobre quienes no saben (o no quieren) calcular el valor esperado — el Estado te vende un vívido sueño de $10M por $2 y se embolsa $1 de él, de media, cada vez.

El EV es lo que promediarías a lo largo de muchas repeticiones

¿Por qué un único número nacido de una multiplicación debería decirte cómo actuar en una apuesta única, de una sola vez? Por la ley de los grandes números: a medida que repites una prueba aleatoria independiente más y más veces, el promedio de tus resultados reales converge al valor esperado. Una jugada es ruido puro — ganas o no, y el EV parece una abstracción. Pero apila las jugadas y el ruido se cancela mientras el EV se acumula.

Imagina el juego del dado a $3 la jugada. Tira una vez y puede que saques un $1 (una pérdida de $2) o un $6 (una ganancia de $3) — vaivenes salvajes. Pero tu resultado promedio por tirada avanza con paso firme hacia $3.50:

El casino vive en la fila de abajo. No le importa que tú puedas pegar un bote esta noche — a lo largo de sus millones de jugadas, su resultado promedio está clavado al EV, y él fijó el EV a su favor. El jugador vive en la fila de arriba, donde el ruido es lo bastante grande como para parecer un «sistema». El valor esperado es la promesa de que, con suficientes repeticiones, las matemáticas siempre se presentan a cobrar.

Apuestas de EV negativo frente a EV positivo

Ordena cada apuesta por el signo de su valor esperado neto y obtienes una taxonomía limpia. Una apuesta de EV positivo (positive-EV) te paga por aceptarla (a largo plazo); una de EV negativo (negative-EV) te cobra por el privilegio. Todo el juego de apostar, invertir y asegurar de forma racional consiste en: acepta apuestas de EV positivo, rechaza las de EV negativo — con un asterisco importante al que llegaremos.

La lotería y el casino son obvios: todo su modelo de negocio es venderte apuestas de EV negativo disfrazadas de diversión. La ruleta paga $36 por una apuesta de $1 pero tiene 38 casillas, así que su EV es de unos 94.7 céntimos por euro — una ventaja de la casa del 5.3% que, por la ley de los grandes números, es tan fiable como la gravedad.

El seguro es el caso interesante. La prima es también de EV negativo — así es como gana dinero la aseguradora; de media pagas más de lo que llegarás a cobrar. Y aun así contratarlo suele ser la jugada racional. ¿Por qué? Porque el EV no es lo único que te importa cuando un desenlace puede arruinarte. Un incendio en casa no es una molestia promedio de −$300 que puedas encogerte de hombros a lo largo de muchas repeticiones — es una catástrofe única e irrepetible que puede dejarte en la calle. Pagas con gusto una prima pequeña, segura y de EV negativo para borrar una cola rara pero insuperable. Eso no es un fallo al calcular el EV; es reconocer que no puedes «promediar» una pérdida de la que no te puedes recuperar — un hilo del que tiraremos con fuerza en las lecciones sobre rangos y sobre decisión-frente-a-resultado.

Apuestas asimétricas

La mayoría de las veces los resultados y las probabilidades se compensan más o menos — los premios grandes son raros, los pequeños son comunes. Una apuesta asimétrica (asymmetric bet) rompe esa simetría a propósito: el lado malo es pequeño y está acotado, mientras que el lado bueno es enorme (o la imagen especular — una probabilidad minúscula de una pérdida catastrófica). Cuando la estructura está desequilibrada, un solo término de la suma del EV puede dominar todo lo demás, y la apuesta puede ser de EV enormemente positivo aunque pierdas la mayoría de las veces.

Esta es la lógica detrás de un experimento barato, una apuesta de startup, una opción fuera de dinero, un correo en frío a la empresa de tus sueños. Lo más probable es que no consigas nada. Pero «probablemente nada» multiplicado por un coste pequeño y fijo es barato, mientras que «en raras ocasiones, una victoria enorme» multiplicado incluso por una probabilidad minúscula puede ser grande. Considera un experimento de $500 con un 4% de probabilidad de devolver $30,000 y en caso contrario devolver $0 — en concreto, un pequeño test publicitario para una idea de producto.

Echa las cuentas: $30,000 × 0.04 = $1,200 de valor esperado, menos el coste de $500 = neto +$700 por experimento. Fracasarás 24 de cada 25 veces — y aun así deberías aceptar esta apuesta siempre que puedas, porque la victoria de 1 entre 25 es lo bastante grande como para pagar todos los fracasos y de sobra. El truco está en que el lado malo está acotado en $500 (no puedes perder más de lo que cuesta el test) mientras que el lado bueno es 60× eso.

Dos conexiones hacen esto riguroso en lugar de romántico. Primero, las tasas base (lección 02): ese 4% está haciendo un trabajo enorme, y no puedes desear que sea mayor. Si tu tasa base real para «un test publicitario de una idea cualquiera acierta» es del 0.5%, el EV pasa a ser $30,000 × 0.005 = $150 frente a un coste de $500 — neto −$350, una mala apuesta. La probabilidad que metas tiene que venir de tasas base honestas, no del optimismo, o la asimetría se vuelve en tu contra. Segundo, el coste de oportunidad: los $500 y el tiempo no son gratis — la comparación correcta es el EV neto de este experimento frente al EV neto de la mejor cosa que harías con el mismo dinero. Las apuestas asimétricas son potentes precisamente porque son baratas; eso es lo que mantiene bajo su coste de oportunidad.

Dónde te miente el EV

El valor esperado es el criterio por defecto correcto, y aun así te despista de tres maneras concretas. Conocerlas es lo que separa a un usuario reflexivo del EV de uno temerario.

1. Juegos de una sola vez en los que no sobrevives para «promediar». El EV es una promesa sobre el largo plazo, canjeable solo si sigues en el juego para cobrarla. Si una apuesta tiene valor esperado positivo pero una posibilidad real de aniquilarte, puede que nunca llegues al largo plazo. La trampa clásica: una moneda al aire donde cara duplica todo tu patrimonio neto y cruz lo pierde por completo. El EV es positivo (ganas un 50% de tu riqueza de media por tirada), y sin embargo repítela y te arruinas con casi total certeza, porque una sola cruz acaba la secuencia para siempre. Este es el problema de la ruina (ruin problem), y por eso un EV positivo es necesario pero no suficiente: nunca arriesgues lo que no te puedes permitir perder, ni siquiera con buenas probabilidades. La varianza — lo salvajemente que los desenlaces oscilan alrededor del EV — importa enormemente cuando el lado malo es mortal, aunque la fórmula del EV la ignore por completo.

2. Probabilidades basura. El EV es tan bueno como los $p_i$ y los $x_i$ que le metes. La aritmética es impecable y los datos de entrada a menudo son conjeturas. Lo vimos arriba: mueve la tasa de acierto del experimento del 4% al 0.5% y una apuesta de +$700 se convierte en una de −$350. Un EV de aspecto preciso calculado a partir de probabilidades inventadas es más peligroso que ningún número en absoluto, porque blanquea una conjetura convirtiéndola en una decisión. Ancla cada $p_i$ a una tasa base (lección 02) y trata con recelo cualquier EV de estimación puntual única — mejor calcularlo a lo largo de un rango de probabilidades plausibles, que es justo la próxima lección.

3. Apuestas únicas, no agregables. El EV asume que los desenlaces son conmensurables — que puedes poner cada resultado en una única escala compartida y sumarlos. Algunas apuestas se niegan. El «resultado» de una decisión médica, un matrimonio, una oportunidad única en la vida no siempre es un número que puedas multiplicar, y no hay «muchas repeticiones» que promediar. Cuando lo que está en juego es único y los resultados no están de verdad en la misma escala, el número del EV es una metáfora en el mejor de los casos, y apoyarte en él como si fuera un saldo bancario es su propio modo de fallar.

Cuándo recurrir a él

Recurre al valor esperado siempre que una decisión sea repetida o agrupable y sus resultados sean cuantificables en una escala compartida: fijar precios, apostar, asegurar, hacer test A/B, construir una cartera de apuestas, cualquier elección a la que te enfrentes muchas veces. En esos contextos el EV es la comparación correcta — ordena tus opciones por valor esperado neto, no por su mejor caso (que adula a la lotería) ni por su peor caso (que prohibiría todo riesgo asegurable). Luego añade encima la comprobación de la supervivencia: entre las opciones de EV positivo, prefiere aquellas cuyo lado malo puedas absorber. El EV elige qué apuestas merece la pena hacer; la pregunta de la ruina decide cuánto arriesgar en cada una.

El asidero para llevarte

Ya tienes el único número que combina probabilidad y resultado: el valor esperado, la suma del resultado de cada desenlace ponderado por su probabilidad, igual a lo que vale cada jugada promediado a largo plazo. Lo has visto desenmascarar la lotería como un impuesto de −$1, justificar una prima de seguro de EV negativo y bendecir una apuesta que pierdes el 96% de las veces. Y has visto sus tres puntos ciegos — la ruina, los datos de entrada basura y las apuestas únicas — por lo que «maximiza el EV» es un criterio por defecto, no un mandamiento.

El mayor de esos puntos ciegos es que un único número de EV oculta el abanico del que fue promediado. Dos apuestas pueden compartir un EV de $700 mientras una es casi segura y la otra es una moneda al aire entre la gloria y la ruina. A continuación, en Pensar en rangos, dejamos de condensar el abanico en un único número y empezamos a razonar sobre toda la distribución — mejor caso, peor caso y cuánto puede oscilar el desenlace — que es justo la pieza que falta y que te dice cuánto apostar, no solo si hacerlo.