El problema de la secretaria y la regla del 37%

Estás contratando a un ayudante, y las reglas son crueles. Los candidatos llegan de uno en uno, en orden aleatorio. Entrevistas a cada uno, y en el momento en que termina la entrevista debes contratar a esa persona en el acto o rechazarla para siempre — nada de «déjame que lo consulte con la almohada», nada de volver a llamar a nadie, nada de lista de finalistas. Puedes ordenar a dos personas que ya hayas conocido, pero no tienes ni idea de lo buenas que serán las que aún están por llegar. Tu objetivo no es «contratar a alguien decente». Es contratar al único mejor candidato de todo el conjunto. Cualquier cosa menos que eso cuenta como fracaso total. ¿Cómo demonios se juega a algo tan hostil?

Este es el problema de la secretaria (secretary problem), y su respuesta es uno de los resultados más silenciosamente asombrosos de la teoría de la decisión: puedes ganar — quedarte con la persona exactamente mejor — alrededor del 37% de las veces, sin importar si el conjunto tiene 10 candidatos o 10 millones. Esta lección construye esa respuesta desde cero. Definimos el juego con precisión, vemos cómo se desmoronan las dos estrategias «obvias», derivamos la regla de mirar y luego saltar (look-then-leap), machacamos los casos pequeños a mano, y luego conocemos la constante que dirige todo el espectáculo: 1/e.

El planteamiento: un juego amañado en tu contra

Imagina una baraja de cartas sellada, cada una impresa con un número distinto, todas boca abajo. Yo las giro de una en una. Después de cada giro dices «paro» o «sigo». Si paras, ganas lo que haya en la carta actual y el juego termina. Si sigues, esa carta queda quemada para siempre — nunca puedes volver a ella. Quieres parar en la carta más alta de toda la baraja. Ese es el problema de la secretaria disfrazado, y toda versión real comparte las mismas cuatro reglas.

Fijémoslas bien, porque toda la dificultad vive en estas restricciones:

• Secuencial. Ves a los N candidatos de uno en uno, en un orden uniformemente aleatorio. Toda disposición es igual de probable.
• Solo comparativo. Puedes ordenar entre sí a los candidatos que ya has visto, pero no obtienes ninguna puntuación absoluta — nunca te enteras de «este es un 9,4/10». Todo lo que sabes es la posición relativa hasta ahora.
• Irreversible. Cada candidato es aceptado o rechazado en el instante en que lo ves. Si aceptas, el juego termina. Si rechazas, se ha ido.
• Sin retorno. Un candidato rechazado no puede ser convocado de nuevo, jamás.
• El mejor o nada. Solo ganas si paras en el único mejor de todos. El segundo mejor es una derrota, idéntica al peor.

Ahora mira cómo tu intuición te ofrece dos estrategias, y mira cómo ambas mueren.

El agarre codicioso: «coge al primero que parezca bueno». El problema es ¿bueno comparado con qué? El primer candidato es, por definición, el mejor que has visto — porque es el único que has visto. Si «parece bueno» significa «el mejor hasta ahora», contratarás al candidato n.º 1 siempre. Tus probabilidades de que esa persona sea el verdadero mejor son exactamente 1/N — para 100 candidatos, un miserable 1%.

La espera exigente: «aguanta hasta que aparezca alguien increíble». Aquí pones un listón altísimo y te niegas a conformarte. Pero no tienes escala absoluta, así que «increíble» solo puede significar «supera a todos hasta ahora» — y si lo exiges demasiado tarde, puede que el verdadero mejor ya haya pasado por delante de ti al principio y haya quedado quemado. Aguanta demasiado y te verás forzado a coger al último candidato sin haberlo visto, cuya probabilidad de ser el mejor es, de nuevo, 1/N.

La regla de mirar y luego saltar

Como el juego te da información con el tiempo, la estrategia óptima tiene una forma bellamente simple: gasta los primeros candidatos aprendiendo, y luego abalánzate. Esta es la regla de mirar y luego saltar (look-then-leap), y tiene exactamente un mando.

Aquí está al completo. Elige un número r. Luego:

1. Fase de observación (calibrar). Entrevista a los primeros r candidatos y recházalos a todos, por muy buenos que sean. Son puro reconocimiento. Su único trabajo es mostrarte cómo es el terreno. Recuerda la mejor puntuación entre estos r — llámala el listón.
2. Fase de salto (comprometerse). Empezando por el candidato r + 1, contrata al primer candidato que sea mejor que el listón — es decir, el primero que supere a todos los de tu muestra. Si nadie llega a superar el listón, te quedas atrapado contratando al último candidato.

Piénsalo como catar vino antes de pedir una caja. Las primeras copas son desechables — no estás comprando, estás construyendo un sentido de «bueno». Una vez que tienes una idea del rango, te comprometes con la primera botella que supere a todo lo que has catado. La muestra r fija el estándar; la fase de salto actúa sobre él.

Un candidato que es el mejor que has visto hasta ahora se llama un récord (o un candidato, confusamente, en la literatura clásica). La regla de mirar y luego saltar es simplemente: ignora todo récord durante la fase de observación, y luego agarra el primer récord de la fase de salto. Todo el arte del problema se reduce a una pregunta — ¿cómo de grande debe ser r?

Trabajándolo a mano: N = 3

Las reglas abstractas son escurridizas, así que vamos a calcular de verdad. Toma N = 3 candidatos con puntuaciones de calidad 1, 2, 3, donde 3 es el mejor y «supera el listón» significa simplemente un número más alto. Hay 3! = 6 órdenes de llegada igualmente probables, cada uno con probabilidad 1/6. Probaremos tres reglas de parada y contaremos, para cada una, cuántos de los 6 órdenes terminan con nosotros contratando al mejor candidato, el 3.

Las tres reglas para N = 3:

• r = 0 — no mires a nadie, simplemente contrata al primer candidato. (El agarre codicioso.)
• r = 1 — rechaza al primer candidato, recuerda su puntuación como el listón, y luego coge al primer candidato posterior que lo supere (una puntuación más alta).
• r = 2 — rechaza a los dos primeros, y luego coge al último candidato solo si supera al mejor de esos dos. Con solo un candidato restante, r = 2 simplemente te fuerza a quedarte con quien esté en la posición 3.

La tabla de abajo escribe los seis órdenes (la secuencia de puntuaciones vistas), y para cada regla marca la puntuación que acabas contratando. Contratar un 3 es una victoria (✓).

Tracemos la columna de r = 1 para que la lógica quede transparente, ya que es la ganadora. Rechaza al primer candidato, fija el listón en su puntuación, y luego contrata a la primera puntuación posterior por encima del listón:

• Orden 1, 3, 2: rechaza el 1 (listón = 1). Le sigue el 3, que supera al 1 → contrata el 3. Victoria.
• Orden 2, 1, 3: rechaza el 2 (listón = 2). Le sigue el 1 (se salta, no está por encima de 2); luego el 3 supera al 2 → contrata el 3. Victoria.
• Orden 2, 3, 1: rechaza el 2 (listón = 2). Le sigue el 3, que supera al 2 → contrata el 3. Victoria.
• Orden 1, 2, 3: rechaza el 1 (listón = 1). Le sigue el 2, que supera al 1 → contrata el 2. Derrota (el mejor, 3, aún estaba por llegar pero ya habíamos saltado).
• Orden 3, 1, 2: rechaza el 3 (listón = 3). Le sigue el 1 (se salta); luego el 2 (se salta) — nadie supera al 3 → forzado al último, contrata el 2. Derrota (el mejor fue sacrificado a la muestra).
• Orden 3, 2, 1: rechaza el 3 (listón = 3) → nadie lo supera → forzado al último, contrata el 1. Derrota.

Así que r = 1 gana en exactamente tres de los seis órdenes — aquellos donde el mejor candidato no es el primero (así que sobrevive a la muestra) y ningún candidato inferior se cuela por encima del listón antes de que llegue. Eso es 3 de 6 = 50%.

El veredicto para N = 3 es limpio: mirar exactamente a un candidato primero (r = 1) gana el 50% de las veces, superando tanto al agarre codicioso puro (r = 0, 33%) como a la espera forzada (r = 2, 33%). Incluso a este tamaño de juguete, «mira un poco, luego salta» ya domina ambos extremos.

Para completar, N = 4 funciona igual pero con 24 ordenamientos. Machacándolos, la regla óptima es mirar a un candidato (r = 1), y gana alrededor del 45,8% de las veces. Fíjate en que la tasa de acierto ha bajado del 50% — a medida que N crece el juego se pone más difícil — pero está cayendo hacia un suelo, no hacia cero. Ese suelo es el remate de la siguiente sección.

La regla del 37% y por qué aparece e

Ahora deja que N crezca. Para cada N hay un mejor r, y la pregunta natural es: ¿qué fracción del conjunto debería cubrir la fase de observación? Corre los números para N cada vez mayores y emerge un patrón asombroso — la proporción óptima r/N se estabiliza en una constante, y también lo hace la probabilidad de ganar. Ambas convergen en el mismo número:

1/e ≈ 0,3679 ≈ 37%.

Esa es la regla del 37%: a medida que N crece, mira (rechaza) al primer ~37% de los candidatos, y luego salta al primer récord posterior. Y la probabilidad de quedarte con el mejor exacto también tiende a ~37%. La constante e ≈ 2,71828 — la base de los logaritmos naturales, la misma que gobierna el interés compuesto y la desintegración radiactiva — cae de un rompecabezas de contratación. ¿Por qué?

La intuición. Todo depende de un tira y afloja sobre el tamaño de muestra r:

• La muestra debe ser lo bastante grande para fijar un listón exigente. Una muestra diminuta da un estándar débil que las mediocridades tempranas superan, así que saltas demasiado pronto.
• La muestra debe ser lo bastante pequeña para que probablemente no se haya comido ya al mejor candidato. Cada candidato que pones en la fase de observación es un candidato que has prometido rechazar — incluido, a veces, el campeón.

La victoria ocurre cuando dos cosas se alinean: (a) el verdadero mejor no está en los primeros r (así que sigue disponible para contratar), y (b) cuando el mejor llega, ningún salto anterior ya se ha disparado sobre un récord falso. La condición (b) resulta en necesitar que el mejor-de-todos-hasta-ahora, en el momento justo antes del verdadero mejor, se sitúe dentro de la muestra — de modo que el listón sea lo bastante alto para que nada entre la muestra y el verdadero mejor lo supere falsamente.

La derivación ligera. Escribe la fracción de observación como x = r/N. Una aproximación estándar para la probabilidad de ganar de la regla de mirar y luego saltar, para N grande, es:

P(ganar) ≈ x · ln(1/x) = (r/N) · ln(N/r).

Léelo como un producto de dos términos que compiten. El factor x = r/N es la probabilidad de que el mejor candidato caiga después de la muestra (debe hacerlo, o es incontratable) — esto crece a medida que miras más. El factor ln(1/x) captura la probabilidad de que ningún récord falso salte pronto — esto encoge a medida que miras más. Su producto es una joroba: cero en x = 0 (saltas al instante sobre basura) y cero en x = 1 (rechazas a todos y pierdes), con un único pico en medio. Para encontrar el pico, pregunta dónde el producto deja de subir. Ese máximo se sitúa exactamente en:

x = 1/e ≈ 0,3679,

y al sustituir de vuelta da P(ganar) ≈ (1/e) · ln(e) = 1/e · 1 ≈ 0,3679 también. La misma constante gobierna tanto la fracción de observación ideal como la tasa de acierto resultante — una coincidencia rara y elegante. (La demostración completa reemplaza la aproximación con una suma exacta y toma un límite cuidadoso, pero la imagen de la joroba-con-pico-en-1/e es el corazón honesto de todo.)

Aquí está el hecho que merece tatuarse en tu toma de decisiones: la tasa de acierto del ~37% apenas se mueve a medida que N explota. Con N = 3 es del 50%, con N = 4 alrededor del 46%, y desciende suavemente hacia 1/e, situándose en aproximadamente el 37% para cuando N alcanza unas pocas docenas — y ahí se queda. Ya estés eligiendo entre 100 pisos o 10 millones, mirar y luego saltar atrapa al mejor de todos aproximadamente 37 veces de cada 100. Un juego a ciegas, de un solo disparo y sin retorno que parece imposible es de hecho ganable más de un tercio de las veces, a cualquier escala.

Qué te compra realmente el 37%

Da un paso atrás y aprecia el tamaño de la victoria. En un juego donde vas con los ojos vendados, sin permitirte marcha atrás, y obligado a encontrar al exactamente mejor de una multitud enorme, atrapar a esa mejor persona el 37% de las veces es asombroso. Compáralo con las alternativas honestas:

Las estrategias ingenuas decaen hasta la nada a medida que el conjunto crece — con un millón de candidatos, agarrar al primero (o una elección al azar) gana una vez de cada millón. Mirar y luego saltar se niega a decaer. Convierte la avalancha de candidatos de una maldición en combustible: más candidatos significa una muestra más rica, lo que significa un listón más afilado. Por eso la tasa de acierto se aplana en el ~37% en lugar de desplomarse. No estás batiendo las probabilidades por suerte; estás extrayendo la máxima información que el juego jamás te dejará tener y gastándola en el momento exactamente correcto.