Examen final: Ergodicidad y la media temporal

Este es el examen final de Ergodicidad y la media temporal (ergodicity, time average). Reúne todo el curso: las dos medias — la media de conjunto (ensemble average) tomada a través de una multitud de jugadores en un solo instante, y la media temporal (time average) tomada a lo largo del propio camino de un jugador — y el hecho crucial de que solo coinciden en un mundo ergódico. La moneda estrella promete un alegre $+5\%$ por ronda en la media de conjunto y, sin embargo, entrega la ruina al jugador típico, porque multiplicar $1{,}5 \times 0{,}6 = 0{,}9$ encoge un capital solitario cada par de tiradas. La solución no es perseguir la media de una multitud que nunca serás, sino optimizar la media que realmente vives: toma el logaritmo, crece a la media aritmética de los rendimientos logarítmicos y, sobre todo, sobrevive primero a la barrera absorbente, porque después del cero no queda nada que componer. Varias preguntas parecen fáciles hasta que detectas la trampa: un valor esperado (EV) que supone en silencio que nunca tocas el cero, una apuesta “segura” en porcentaje que en realidad es multiplicativa, o un eslogan disfrazado de mecanismo.

Cómo funciona este examen

Léelo con atención: este examen es definitivo. Cada pregunta aparece de una en una. Una vez envías una respuesta queda bloqueada para siempre: no hay marcha atrás, ni segundos intentos, ni reinicio. Tu puntuación permanece oculta hasta el final, donde verás un veredicto de aprobado/suspenso. La nota de aprobado es el 70%. Algunas preguntas te piden seleccionar todas las respuestas correctas.

Pregunta 1 de 24

Todo el curso descansa sobre dos medias distintas. ¿Qué par de definiciones es correcto?

Ambas medias describen la misma multitud, solo que medida en distintas monedasLa media de conjunto se toma a través de una multitud de jugadores en un instante; la media temporal se toma a lo largo del propio camino de un jugador durante muchas rondasLa media de conjunto es el resultado mediano; la media temporal es el resultado más comúnLa media de conjunto es un jugador a lo largo del tiempo; la media temporal es muchos jugadores en un instante

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Repaso del curso

Big picture

Ergodicidad y la media temporal, en una imagen

Ergodicidad y la media temporal
- Ergódico frente a no ergódico
  - La media de conjunto recorre una multitud en un instante mientras la media temporal recorre un camino durante muchas rondas, ergódico significa que coinciden así que un camino muestrea la multitud, no ergódico significa que divergen así que tu camino no es la multitud, y Boltzmann acuñó la palabra en la mecánica estadística
- La moneda estrella
  - Una moneda justa que paga por 1,5 en cara y por 0,6 en cruz tiene un valor esperado de conjunto de 1,05 o más 5 por ciento por ronda, pero un par cara-cruz multiplica a 1,5 por 0,6 igual a 0,9 así que la media temporal es la raíz de 0,9 cerca de 0,949 o menos 5 por ciento, la multitud se hincha mientras el jugador típico deriva al cero cuando una media lognormal sesgada a la derecha adelanta a la mediana
- Aditivo frente a multiplicativo
  - Sumar cantidades fijas es independiente del camino y ergódico así que el valor esperado de conjunto es tu destino, multiplicar por porcentajes de la riqueza actual se compone y es no ergódico, más 50 por ciento y luego menos 40 por ciento es en realidad por 0,9 o menos 10 por ciento, y tomar el logaritmo convierte productos en sumas así que el crecimiento es la media aritmética de los rendimientos logarítmicos
- La solución de Kelly
  - Kelly maximiza la log-riqueza esperada E ln W que es la tasa de crecimiento de la media temporal, de Bernoulli en 1738 a Kelly en 1956, la apuesta es f-estrella igual a bp menos q partido por b así que b igual a 1 y p igual a 0,6 da 20 por ciento, la curva de crecimiento tiene forma de joroba así que sobreapostar es estrictamente peor, la ruina se rechaza gratis porque ln 0 es menos infinito, y medio Kelly conserva casi todo el crecimiento con mucha menos varianza
- La ruina y el mundo real
  - El cero es una barrera absorbente de la que nada rebota y el valor esperado de conjunto supone en silencio que nunca la tocas, una probabilidad de ruina diminuta por periodo se compone así que 1 menos 0,999 elevado a 1000 es cerca de 0,63, el apalancamiento eleva la media de conjunto pero baja el crecimiento y sube la ruina, y el seguro recompra ergodicidad pagando una pequeña prima cierta para eliminar una cola ruinosa incluso con valor esperado negativo
- Donde miente el modelo
  - No todo es no ergódico ya que las apuestas pequeñas acotadas repetibles y no ruinosas pueden juzgarse por la media de conjunto, la no ergodicidad va de qué media es relevante para la decisión y muerde incluso a un agente neutral al riesgo con Peters frente a la utilidad esperada como debate vivo, y para evitar un eslogan vacío exige el mecanismo de multiplicatividad una barrera absorbente alcanzable y medias que divergen

Ideas clave

La ergodicidad es la diferencia entre dos medias: la media de conjunto (ensemble average) a través de una multitud en un instante, y la media temporal (time average) a lo largo de tu propio camino. Cuando coinciden el mundo es ergódico y el EV de conjunto es tu destino; cuando divergen es no ergódico y tu camino no es una muestra de la multitud. La moneda estrella — justa, $\times 1{,}5$ cara / $\times 0{,}6$ cruz — lo hace vívido: la media de conjunto sube al $+5\%$ por ronda mientras el jugador típico se desangra hacia el cero, porque $1{,}5 \times 0{,}6 = 0{,}9$ y el factor de media temporal es $\sqrt{0{,}9} \approx 0{,}949$ . El motor es la multiplicatividad: sumar cantidades fijas es aditivo y ergódico, pero multiplicar por porcentajes se compone y es no ergódico — por eso $+50\%$ y luego $-40\%$ es en realidad $\times 0{,}9$ , y por eso una pérdida del $-50\%$ necesita una ganancia del $+100\%$ para recuperar. Toma el logaritmo y los productos se vuelven sumas, así que el crecimiento que vives es la media aritmética de los rendimientos logarítmicos — exactamente lo que Kelly ( $f^* = (bp - q)/b$ , maximizando $E[\ln W]$ ) optimiza, rechazando la ruina gratis porque $\ln 0 = -\infty$ , castigando el sobreapostar y premiando la prudencia del medio Kelly. Sobre todo, respeta la barrera absorbente en cero: las probabilidades pequeñas de ruina por periodo se componen, el apalancamiento cambia crecimiento por una media de conjunto más alta, y el seguro recompra ergodicidad — una pequeña prima cierta que elimina una cola ruinosa, racional incluso con EV negativo. Pero no lo sobreapliques: las apuestas pequeñas, acotadas y no ruinosas se juzgan bien por la media, la no ergodicidad va de qué media importa (no de la aversión al riesgo), y “es no ergódico” solo es real si puedes mostrar el mecanismo — multiplicatividad, una barrera alcanzable y medias que divergen.