El arreglo de Kelly: apuesta para sobrevivir

La lección 03 te entregó el truco: para un patrimonio que multiplica, toma el logaritmo y la multiplicación se convierte en suma. La composición en patrimonio se convierte en un simple total acumulado en log-patrimonio, y la cantidad que de verdad vives —la tasa de crecimiento promedio temporal— no es más que la media de los rendimientos logarítmicos. Ese era el diagnóstico. Esta lección es la cura. Si el número que te gobierna es el rendimiento logarítmico esperado, entonces no lo midas sin más: maximízalo. Dale vueltas a esa idea y de ella cae un único y hermoso tamaño de apuesta que hace crecer tu dinero lo más rápido posible con el tiempo y que, de regalo, se niega en redondo a arruinarte jamás. Tiene nombre: el criterio de Kelly (Kelly criterion).

El movimiento: optimizar la propia tasa de crecimiento

Analogía. La lección 03 te dio una brújula —el logaritmo— que siempre apunta a tu destino en lugar del de la multitud. Sería raro tener una brújula y luego caminar en una dirección al azar. El paso obvio es caminar hacia donde apunta la brújula: elegir el tamaño de apuesta que empuja la tasa de crecimiento promedio temporal lo más alto posible.

Definición precisa. Para una apuesta multiplicativa repetida, tu tasa de crecimiento promedio temporal es el logaritmo esperado del factor de patrimonio por ronda, $g = E[\ln(W_{\text{después}}/W_{\text{antes}})]$ —la media geométrica (geometric mean) convertida en tasa de crecimiento de la lección 03—. Elegir tu tamaño de apuesta para maximizar $E[\ln W]$ es el criterio de Kelly (Kelly criterion). Esa es la idea entera en una línea: maximiza el log-patrimonio esperado.

Origen. La regla lleva el nombre de John L. Kelly Jr., un físico de los Bell Labs que la publicó en 1956 pensando en qué parte del capital de un apostador arriesgar dada una señal ruidosa sobre el resultado. Le precedieron más de dos siglos: Daniel Bernoulli propuso la utilidad logarítmica (log utility) ya en 1738 para resolver la paradoja de San Petersburgo, argumentando que un ducado vale menos para el rico que para el pobre. El colega de Kelly en teoría de la información, Claude Shannon, defendió la regla, y el matemático Ed Thorp la sacó del seminario a las mesas de los casinos y a Wall Street, usándola para dimensionar apuestas en el blackjack y luego en su fondo de cobertura.

Los dos caminos, un mismo destino. Aquí está la parte silenciosamente asombrosa. Bernoulli y Kelly llegaron a “maximiza el log-patrimonio esperado” desde la utilidad y la información —psicología y señales—. El argumento de la ergodicidad de Ole Peters (todo este curso) llega al mismo objetivo logarítmico desde la física —del simple hecho de que vives una trayectoria a lo largo del tiempo y el crecimiento multiplicativo compone—. Dos puntos de partida completamente distintos; una respuesta idéntica. Cuando dos caminos se cruzan así, deberías sospechar que has dado con algo real.

Cuándo usarlo

Recurre a Kelly siempre que te enfrentes a una apuesta repetida y multiplicativa sobre tu propio capital en evolución y quieras que crezca tan rápido como pueda sostener. Es el puente entre “el promedio temporal es lo que importa” (un diagnóstico) y “así que apuesta exactamente esto” (una prescripción).

La apuesta de Kelly, resuelta

Fórmula precisa. Para el caso más limpio —una simple apuesta de ganar/perder— Kelly da una fracción explícita de tu capital que apostar:

$f^* = \frac{bp - q}{b}$

Término a término:

• $b$ = las cuotas netas (net odds): beneficio por unidad apostada si ganas. Una apuesta que te devuelve tu apuesta más otro tanto (doble-o-nada) tiene $b = 1$; una que paga 2 a 1 tiene $b = 2$.
• $p$ = la probabilidad de ganar.
• $q = 1 - p$ = la probabilidad de perder.

Lee el numerador en voz alta y cuenta una historia: $bp$ es tu ganancia esperada por unidad apostada, $q$ es tu pérdida esperada, así que $bp - q$ es tu filo. Divide el filo por las cuotas $b$ y obtienes la fracción de tu capital a poner en riesgo. Sin filo ($bp = q$) es $f^* = 0$ —Kelly te dice que no apuestes—. Un filo negativo hace que $f^*$ se vuelva negativo, es decir, deberías estar en el otro lado de la apuesta.

Ejemplo resuelto por completo. Toma una apuesta de doble-o-nada —ganas y ganas tu apuesta ($b = 1$), pierdes y pierdes tu apuesta— con una probabilidad de ganar de $p = 0.6$ (así que $q = 0.4$). Entonces:

$f^* = \frac{(1)(0.6) - 0.4}{1} = \frac{0.6 - 0.4}{1} = \frac{0.2}{1} = 0.2$

Así que apuestas el 20% de tu capital cada ronda. Sobre un capital de $1.000 eso son $200 —no los $1.000 que gritaría el instinto de “es +VE, apuéstalo todo”, ni los $5 que arriesgaría un apostador nervioso—. El veinte por ciento es la fracción exacta que hace crecer este capital lo más rápido posible a largo plazo.

Trampa. La fórmula supone que conoces $p$ y $b$ con exactitud. En la vida real los estimas, y una sobrestimación optimista de tu filo se cuela directa en un $f^*$ demasiado grande —lo cual, como muestra la siguiente sección, es la dirección peligrosa en la que equivocarse—.

Cuándo usarlo

La forma $f^* = (bp - q)/b$ es tu recurso para cualquier apuesta binaria de “gana esto / pierde tu apuesta”: apuestas deportivas, una operación con un stop definido, una mano de blackjack de juego con ventaja. Para pagos más enrevesados, la regla de fondo (“maximiza el log-patrimonio esperado”) sigue en pie; simplemente la resuelves numéricamente en lugar de con la fórmula limpia.

La curva de crecimiento es una joroba

Analogía. Piensa en el tamaño de la apuesta como en la dosis de un fármaco. Demasiado poco no hace nada. La dosis justa cura. Demasiado te envenena —y pasado un punto, más dosis es estrictamente peor y más tóxica—. El crecimiento frente a la fracción apostada tiene exactamente esta forma: una joroba.

Definición precisa. Representa el crecimiento promedio temporal $g$ frente a la fracción $f$ que apuestas cada ronda. En $f = 0$ nunca apuestas, así que $g = 0$. A medida que $f$ sube, $g$ trepa hasta un único pico positivo —ese pico está en la fracción de Kelly $f^*$—. Empuja $f$ más allá del pico y $g$ vuelve a caer, cruza el cero y se vuelve negativo: ahora tienes garantizado encoger con el tiempo. Hay un único mejor tamaño de apuesta, y tanto quedarse corto como pasarse cuestan crecimiento.

Ejemplo resuelto — la moneda insignia. Toma la moneda de este curso: cara paga +50%, cruz cuesta −40%, un lanzamiento justo 50/50, apostando una fracción $f$ de tu capital cada ronda. Los factores de patrimonio por ronda son $(1 + 0.5f)$ al ganar y $(1 - 0.4f)$ al perder, y el crecimiento promedio temporal es $g = 0.5\ln(1 + 0.5f) + 0.5\ln(1 - 0.4f)$. Evalúalo en distintos tamaños de apuesta:

Léelo como un viaje. No apostar nada no te lleva a ninguna parte. En torno a un cuarto de tu capital alcanzas el pico positivo —el crecimiento sostenible más rápido que esta moneda permite—. Para la mitad de tu capital ya has devuelto el pico y no haces más que mantenerte a flote. Y apostar todo —la movida ingenua del “+5% de valor esperado, ¡apuéstalo todo!” de lecciones anteriores— te planta de lleno en territorio negativo, en torno a −5,1% por ronda, moliéndote hacia cero.

El precipicio de la sobreapuesta. Fíjate en la asimetría. Apostar más que Kelly no es una versión más audaz de la misma buena idea —es estrictamente peor: aceptas menos crecimiento y vaivenes más salvajes a la vez—. Estás pagando riesgo extra para reducir tu rendimiento. Ese es el precipicio de la sobreapuesta (overbetting), y es la forma más importante de todo este curso.

Cuándo usarlo

Mantén la joroba en tu ojo mental cada vez que dimensiones una posición. Replantea la pregunta de “¿es buena esta apuesta?” (sí/no) a “¿cuánto de esta buena apuesta maximiza mi crecimiento?” —y te avisa de que equivocarse por arriba no es solo agresivo, es autodestructivo—.

Haz el experimento tú mismo. Lanza la moneda por defecto a apuesta completa primero: la media del conjunto se infla mientras la trayectoria típica es molida hacia cero —la ruina no ergódica que ya te sabes de memoria—. Luego arrastra el deslizador de la fracción apostada hacia abajo y relanza. En algún punto en torno a un 20-25% de apuesta la ficha del crecimiento promedio temporal pasa de negativa a positiva y la trayectoria típica por fin sube —has encontrado la región de Kelly—. Ahora vuelve a subir la fracción apostada hacia el máximo y observa cómo el crecimiento se vuelve negativo otra vez. Ese giro en U es el otro lado de la joroba: sobreapostar.

Kelly respeta la ruina — gratis

Analogía. Imagina un excursionista cuyo mapa asigna una puntuación infinitamente mala a una única casilla al borde del precipicio. Ningún planificador de rutas, por ávido de atajos que esté, trazará jamás un camino por esa casilla —no porque le hayas atornillado una regla de “no te caigas por los precipicios”, sino porque las matemáticas hacen que el precipicio sea infinitamente repulsivo por sí solas—.

Definición precisa. El objetivo de Kelly es el log-patrimonio esperado, y $\ln(0) = -\infty$. Quebrar —llegar a cero— conlleva por tanto una penalización infinita en la mismísima cantidad que Kelly maximiza. Así que un apostador de Kelly nunca apostará todo el capital a nada que pudiera dejarlo en cero, porque incluso una probabilidad ínfima de tocar $-\infty$ aniquila el valor esperado. La aversión a la ruina está horneada en las matemáticas, no atornillada después.

Ejemplo resuelto. Considera una apuesta que, al perder, podría llevarse todo tu capital. Apostar $f = 1$ significa que una pérdida manda tu patrimonio a $0 y tu log-patrimonio a $-\infty$. Promediada, esa única rama arrastra el log-patrimonio esperado a $-\infty$ por muy jugosa que sea la rama ganadora. El maximizador de Kelly retrocede por tanto ante $f = 1$ automáticamente y se asienta en alguna fracción interior —para la moneda del +60% de arriba, el 20%—. Nunca tuviste que decir “y por favor no quiebres”; el logaritmo lo dijo por ti.

Trampa. Esta protección gratis supone el objetivo logarítmico. Cámbialo por maximizar el patrimonio esperado (la simple media del conjunto —la media aritmética—) y la barandilla desaparece: la maximización del patrimonio esperado te dice alegremente que apuestes todo a cualquier jugada +VE, directo al precipicio. La seguridad es una propiedad del logaritmo específicamente.

Cuándo usarlo

Apóyate en esto siempre que una apuesta lleve un riesgo de ruina genuino. Dimensionar por log-patrimonio esperado significa que nunca tienes que ajustar a mano una regla de “pérdida máxima” —el objetivo ya trata la quiebra como el resultado infinitamente malo que es—.

El medio Kelly y el mundo real

Analogía. El Kelly completo es como conducir a la velocidad exacta que te lleva antes por una carretera perfecta. El medio Kelly es levantar el pie del acelerador: llegas casi igual de rápido, con muchos menos nudillos blancos, y no te estrellas cuando la carretera resulta ser más accidentada de lo que prometía el mapa.

Definición precisa. El medio Kelly significa apostar la mitad de la fracción de Kelly —$f^*/2$— cada ronda. El trueque es notablemente amable: como el crecimiento es una joroba suave y plana cerca de su cima, reducir la apuesta a la mitad conserva más o menos tres cuartas partes de la tasa de crecimiento máxima mientras recorta la varianza de tu capital a la mitad, aproximadamente. Cedes una pizca de velocidad a cambio de una gran reducción de vaivenes que te revuelven las tripas.

Ejemplo resuelto. En la apuesta de doble-o-nada de arriba, el Kelly completo apuesta el 20%. El medio Kelly apuesta el 10%. Como el pico de la joroba de crecimiento es ancho y plano, bajar del 20% al 10% te cuesta solo una porción modesta del crecimiento a largo plazo —pero el viaje es drásticamente más suave y, crucialmente, si tu verdadera probabilidad de ganar era en realidad 0,55 en lugar del 0,6 que estimaste, la apuesta del 10% está cómodamente por debajo de la fracción de Kelly real (aún en el lado seguro y creciente de la joroba) en lugar de por encima—.

Por qué los profesionales fraccionan. Los filos reales se estiman, no se conocen, y los errores de estimación te sesgan hacia sobreapostar: un $p$ optimista infla $f^*$, empujándote hacia el precipicio donde el crecimiento se vuelve negativo. Apostar una fracción de Kelly es un seguro contra tu propio exceso de confianza —te mantiene en el lado izquierdo de suave pendiente de la joroba, donde equivocarte un poco te cuesta algo de crecimiento, en lugar del lado derecho empinado, donde equivocarte un poco te cuesta todo—.

Trampa. Estimar el filo demasiado alto es el modo de fallo clásico. Exagera $p$ o $b$, calcula $f^*$ con los números inflados, y crees que apuestas Kelly cuando en realidad estás sobreapostando —sentado más allá del pico, en la pendiente de crecimiento negativo, convencido de que optimizas—.

Cuándo usarlo

Ponte por defecto en alguna fracción del Kelly completo —una mitad, o incluso un cuarto— siempre que tus datos de entrada sean inciertos (que es casi siempre). Es el seguro estándar del profesional: casi todo el crecimiento, una fracción de la volatilidad y un amplio margen de seguridad frente a una estimación errónea del filo.

Dónde muerde Kelly

Kelly es un bisturí, y los bisturíes cortan al cirujano si se manejan mal. Conoce sus supuestos antes de fiarte de su número.

• Supone que conoces las cuotas. La fórmula toma $p$ y $b$ como dados. Aliméntala con datos erróneos y te devuelve con aplomo un tamaño de apuesta erróneo —normalmente demasiado grande—. Basura entra, sobreapuesta sale.
• Los datos erróneos causan sobreapuesta específicamente. Como $f^*$ sube con tu filo estimado, el error humano natural (el optimismo) te empuja hacia el precipicio, no lejos de él. El error es asimétrico y duele.
• Maximiza el crecimiento a largo plazo, no la comodidad. Aun apostando a la perfección, una trayectoria de Kelly completo es volátil —caídas profundas y prolongadas son del todo normales de camino al crecimiento más rápido—. Kelly optimiza dónde acabas, no lo suave que se siente el viaje.
• Va de crecimiento, no de tu tolerancia personal al riesgo. Kelly responde “¿qué tamaño hace crecer mi dinero lo más rápido?” —no “¿qué tamaño me deja dormir?”—. Si los vaivenes del Kelly completo te harían abandonar en el fondo (cristalizando la pérdida), el tamaño óptimo de crecimiento es el tamaño equivocado para ti. Precisamente por eso existe el medio Kelly.

Trampa. Tratar a Kelly como una garantía de viaje suave es el malentendido más profundo. Garantiza el crecimiento sostenible más rápido, y crecimiento rápido y nervios calmados son cosas distintas. Dimensiona a la baja hasta la volatilidad que de verdad puedas soportar —porque un apostador que abandona en el valle nunca cobra el largo plazo que Kelly optimiza—.

Cuándo usarlo

Usa Kelly para convertir una decisión: transforma “¿debería aceptar esta apuesta?” en “¿cuánto debería apostar?” —la pregunta mucho más útil—. El dimensionamiento de posiciones para cualquier apuesta multiplicativa repetida —operaciones, apuestas, asignaciones de capital— es exactamente su terreno. Solo aliméntalo con datos honestos y fracciona para ajustarte a la incertidumbre de esos datos y a la volatilidad que puedas aguantar.