Contar las maneras: microestados y macroestados

La lección anterior os dio el eslogan: el desorden no es una fuerza, es un recuento. Esta lección lo hace efectivo. Vamos a volver “recuento” completamente literal — lo bastante pequeño para apuntarlo en una servilleta — y luego veremos cómo ese mismo recuento, llevado a lo grande, explica por qué el café nunca se des-mezcla y por qué el calor siempre fluye justo al revés de lo que os convendría. Al terminar, la palabra entropía dejará de ser una vibra sobre el desorden y pasará a ser exactamente una cosa: un recuento de cuántas disposiciones microscópicas producen la situación que ves. Boltzmann grabó la ecuación en su lápida. Nosotros nos la ganaremos contando monedas.

Macroestado frente a microestado — toda la distinción

Todo en esta lección se apoya en distinguir dos palabras, así que fijémoslas bien antes de contar nada.

Un microestado (microstate) es una descripción completa y exacta de un sistema, hasta el último detalle que el sistema tenga — la posición y la velocidad de cada partícula, la cara individual de cada moneda, la identidad y el hueco de cada carta. Es la especificación total, la vista de Dios, que no deja nada por decir. Un macroestado (macrostate) es la descripción gruesa — el puñado de rasgos globales que de verdad puedes observar o que te importan desde fuera: el número total de caras, la temperatura y la presión de un gas, “la leche está mezclada”. Un macroestado es un cubo que reúne todos los microestados que se ven igual a ese nivel grueso.

La analogía que lo hace encajar es una mano de cartas — o más sencillo, un par de dados lanzados. Cuando lanzas dos dados, el microestado es el par exacto de caras: “el dado rojo muestra un 3, el dado blanco muestra un 4”. El macroestado suele ser todo lo que anuncias en la mesa: “el total es 7”. Un macroestado, “total 7”, contiene seis microestados distintos (1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1). El macroestado “total 2” contiene uno solo (1-1). Por eso el 7 sale seis veces más a menudo que el ojo de serpiente aunque cada par de caras individual sea igual de probable: el 7 es un cubo más grande.

Cuéntalo a mano: cuatro monedas

Los dados están bien, pero las monedas son más limpias porque cada moneda tiene solo dos caras, así que podemos listarlo todo. Lanza cuatro monedas justas en fila. Un microestado es la secuencia exacta de caras (C) y cruces (X) — como CXCX. Como cada una de las 4 monedas es, de forma independiente, C o X, hay $2^4 = 16$ microestados en total y — esta es la hipótesis que sostiene toda la mecánica estadística — cada microestado es igual de probable, cada uno exactamente 1 entre 16.

El macroestado es lo que en realidad reportarías: cuántas caras salieron, ignorando el orden. Solo hay cinco macroestados posibles: 0, 1, 2, 3 o 4 caras. Ahora contemos cuántos microestados caen en cada cubo — este recuento es lo que los físicos llaman $W$ (del alemán Wahrscheinlichkeit, “probabilidad”), la multiplicidad o número de microestados:

Esos recuentos — 1, 4, 6, 4, 1 — son una fila del triángulo de Pascal, y suman 16, nuestro número total de microestados. Lee la tabla y la moraleja está ahí mismo: el macroestado equilibrado (2 caras, mitad y mitad) tiene el mayor número de microestados, $W = 6$, así que es el más probable. Los macroestados extremos y ordenados (todo caras o todo cruces) tienen $W = 1$ cada uno — un único boleto por cabeza. Todo-caras no está prohibido ni luchando contra una fuerza cuesta arriba; es solo una disposición de dieciséis, y el lanzamiento aleatorio aterriza ahí una vez de cada dieciséis.

Ahora súbelo de escala: 100 monedas

Cuatro monedas ya se inclinan hacia el equilibrio; cien monedas convierten esa inclinación en un acantilado. Con 100 monedas hay $2^{100} \approx 1.27 \times 10^{30}$ microestados — un nonillón. Todo-caras sigue siendo exactamente uno de ellos. El macroestado más equilibrado, 50 caras, tiene una multiplicidad de $\binom{100}{50} \approx 1.01 \times 10^{29}$ microestados — unos cien mil trillones de trillones de disposiciones, todas con pinta de “aproximadamente la mitad caras”.

Aquí viene lo asombroso. Si sumas cada macroestado de 45 a 55 caras — una banda estrecha justo alrededor del centro — esa banda contiene más del 72% de los $10^{30}$ microestados. Amplíala a 40–60 caras y habrás barrido más del 99,99% de ellos. Toda la población de microestados está apiñada en una fina rendija cerca del 50/50, y los extremos ordenados son un error de redondeo. Lanza 100 monedas y pedir ver todo caras es pedir sacar el único boleto especial de entre $1.27 \times 10^{30}$ — podrías estar lanzando todo el día, todos los días, durante mucho más que la edad del universo, y no lo verías nunca.

Entropía = el logaritmo del recuento: la ecuación de Boltzmann

Llevamos rato diciendo “el recuento de microestados, $W$”. La entropía es esencialmente ese recuento — pero pasado por un logaritmo y escalado por una constante. Esta es la ecuación más importante de todo el curso, y está grabada en la lápida de Ludwig Boltzmann en Viena:

$S = k_B \ln W$

Definamos cada símbolo, porque cada uno carga con su peso:

• $S$ es la entropía (entropy) de un macroestado — la magnitud que, según la segunda ley, solo puede aumentar.
• $W$ es la multiplicidad: el número de microestados en el cubo de ese macroestado — lo que contamos a mano arriba (1, 4, 6, 4, 1 para las monedas).
• $\ln$ es el logaritmo natural (logaritmo en base $e \approx 2.718$). Su papel se explica abajo — no es una elección cosmética.
• $k_B$ es la constante de Boltzmann, un diminuto factor de conversión fijo, $k_B \approx 1.38 \times 10^{-23}$ julios por kelvin (J/K). Existe solo para convertir un recuento puro en las unidades físicas — energía por grado de temperatura — que la termodinámica ya usaba antes de que nadie supiera de los átomos. Si eres físico, hace que la $S$ estadística cuadre con la $S$ más antigua y medida. Si estás aquí por la intuición, puedes poner mentalmente $k_B = 1$ y leer la entropía sencillamente como “el logaritmo del número de maneras.”

¿Por qué el logaritmo? Porque los recuentos se multiplican pero la entropía debería sumar

El logaritmo no es un adorno — está haciendo un trabajo estructural esencial, y entender por qué es lo que separa saberse la fórmula de entenderla.

Considera dos sistemas independientes uno al lado del otro — digamos una caja de gas a la izquierda y una caja sin relación a la derecha. Si la caja izquierda tiene $W_A$ microestados y la derecha tiene $W_B$, ¿cuántos microestados tiene el sistema combinado? Por cada manera de disponer la caja izquierda, la caja derecha puede estar en cualquiera de sus maneras, así que las disposiciones se multiplican: $W_{\text{total}} = W_A \times W_B$. Los recuentos de cosas independientes se multiplican — es la misma regla de conteo que ya conoces del interés compuesto, donde las posibilidades independientes se acumulan por multiplicación y los totales explotan.

Pero queremos que la entropía sea una magnitud aditiva, “extensiva” — junta dos cajas idénticas y te gustaría el doble de entropía, igual que dos cajas idénticas guardan el doble de masa o el doble de energía. Una magnitud que se multiplica al combinar sistemas es incómoda; una que se suma es natural. El logaritmo es precisamente la máquina matemática que convierte la multiplicación en suma:

$\ln(W_A \times W_B) = \ln W_A + \ln W_B$

de modo que

$S_{\text{total}} = k_B \ln(W_A W_B) = k_B \ln W_A + k_B \ln W_B = S_A + S_B.$

Las multiplicidades se multiplican; toma el logaritmo, y las entropías se suman. Esa es toda la razón de que el $\ln$ esté ahí. Como bonus, doma los números: un gas tiene una $W$ del orden de $10^{(10^{23})}$ — un número con más cifras que átomos hay en tu cuerpo — y $\ln W$ encoge ese monstruo hasta algo que un instrumento de laboratorio puede leer en un dial.

Un pequeño ejemplo resuelto

Los números lo hacen concreto. Supón que el sistema A tiene $W_A = 4$ microestados y el sistema B tiene $W_B = 8$. Combínalos y la multiplicidad total es $W = 4 \times 8 = 32$ — cada una de las 4 maneras de A se empareja con cada una de las 8 maneras de B. Ahora comprueba que las entropías se suman. Usando $S = k_B \ln W$ y poniendo $k_B = 1$ por claridad:

Y, en efecto, $\ln 4 + \ln 8 = 1.386 + 2.079 = 3.466 = \ln 32$. Los recuentos se multiplicaron ($4 \times 8 = 32$); las entropías se sumaron ($1.386 + 2.079 = 3.466$). Ese es el logaritmo ganándose su sitio, con números lo bastante pequeños para comprobarlos con una calculadora.

Por qué gana “el estado equilibrado” — míralo suceder

Junta las dos mitades — el conteo y el logaritmo — y la segunda ley deja de ser misteriosa. El macroestado de mayor entropía es sencillamente el que tiene más microestados (la mayor $W$, y por tanto el mayor $\ln W$). El movimiento microscópico aleatorio es, en efecto, sacar un microestado nuevo del sombrero cada instante, con cada microestado igual de probable. Así que el sistema pasa esencialmente todo su tiempo en el macroestado que posee esencialmente todos los boletos — el equilibrado, el desparramado. No lo busca; simplemente lo votan de forma aplastante para llegar a él.

La caja de los dos gases de la introducción es este mismísimo argumento renderizado como película. “Rojo a la izquierda, azul a la derecha” es la esquina de todo-caras de la tabla de monedas: un cubo diminuto, $W$ cerca de 1. “Uniformemente mezclado” es la banda 50/50: prácticamente todos los microestados viven ahí. Pulsa Reproducir y la caja deambula, microestado a microestado, fuera del diminuto cubo ordenado y hacia el gigantesco cubo mezclado — y que el medidor de entropía suba es literalmente $\ln W$ creciendo a medida que el sistema alcanza el macroestado con más maneras de ser.

Energía, no solo orden — la parte que todo el mundo entiende mal

Aquí es donde la imagen de la “habitación desordenada”, útil como primer gancho, empieza a despistar — y donde importa el significado riguroso. La entropía no es una medida del desorden visual. Es el recuento de microestados accesibles, y los microestados que más importan en la física real no van de dónde se sientan las partículas sino de cómo se reparte una cantidad fija de energía entre ellos. La entropía va en realidad de la dispersión de la energía por todas las maneras en que el sistema puede contenerla.

El ejemplo más limpio es la taza que se enfría de la introducción — el calor fluyendo de caliente a frío, que la segunda ley exige y cuyo inverso nunca ocurre. ¿Por qué? Un objeto caliente es uno en el que mucha energía está concentrada en pocas partículas; un objeto frío tiene poca. Pregunta: entre todas las maneras de distribuir una energía total fija entre todas las partículas, ¿cuántos microestados corresponden a “energía apilada en el objeto caliente” frente a “energía repartida más uniformemente entre caliente y frío”? Desparramar la misma energía sobre más partículas abre muchísimas más maneras de disponerla — la multiplicidad $W$ de la configuración repartida empequeñece a la de la concentrada, a menudo por factores con exponentes astronómicos. Así que la energía fluye de caliente a frío por la misma razón idéntica que las monedas derivan hacia el 50/50 y la leche se mezcla: la disposición desparramada es un cubo de microestados enormemente más grande. Que la temperatura se iguale es la entropía subiendo a ese cubo. No hace falta desorden alguno — una taza tibia, perfectamente limpia y uniforme, es el estado de entropía alta.

Cuándo usarlo

Echa mano de este modelo en cuanto te pilles pensando que un sistema “busca” el desorden, “quiere” degradarse o está siendo “arrastrado” hacia el caos — el lenguaje del propósito y la fuerza. Cada vez, tradúcelo al lenguaje del conteo:

• Cambia “busca el desorden” por “deriva hacia el macroestado con más microestados”. No hay búsqueda; hay un alud de probabilidad. El estado mezclado no es una meta, es solo donde está casi la totalidad de los boletos.
• Cuando algo se desparrama — calor, tinta, un olor, una multitud — pregúntate “¿cuál es el cubo más grande?” La configuración desparramada es casi siempre realizable de muchísimas más maneras que la concentrada, así que el movimiento aleatorio la encuentra y se queda.
• Desconfía de “se desordenó” como explicación; cuenta en su lugar. Si el orden y la entropía parecen apuntar en direcciones distintas (una habitación cálida y sosa, dos gases mezclados de forma invisible), fíate del recuento de microestados por encima del examen ocular.
• Recuerda la escala. Sea cual sea la inclinación con un puñado de monedas, los sistemas reales tienen $10^{23}$ de ellas, lo que convierte una leve preferencia estadística en una ley férrea y sin excepciones. “Abrumadoramente probable” y “seguro” son la misma frase a esa escala.

Resumen

Un microestado es la disposición exacta y completa de un sistema; un macroestado es el resumen grueso que de verdad observas, y actúa como un cubo que reúne todos los microestados que se ven igual. Cada microestado es igual de probable — CCCC empata con CXCX a 1 entre 16 — pero los macroestados son cubos de tamaño desigual, así que el macroestado equilibrado (2 caras, $W = 6$) le gana al extremo ordenado (4 caras, $W = 1$) seis a uno, y con 100 monedas la banda equilibrada acapara más del 99,99% de todas las disposiciones. La entropía es esencialmente el logaritmo del tamaño de ese cubo, $S = k_B \ln W$: $W$ es la multiplicidad, $k_B$ una diminuta constante que fija las unidades, y el logaritmo está ahí para que los recuentos de sistemas independientes (que se multiplican) se conviertan en entropías (que se suman). Y va de dispersión de energía, no de orden — el calor fluye de caliente a frío porque desparramar la energía sobre más partículas multiplica los microestados, no porque algo parezca desordenado. El desorden gana porque el desorden es el cubo más grande. Punto.

A continuación convertimos ese recuento en una dirección. Si la entropía casi siempre sube, entonces la película del universo tiene una pinta obviamente errónea al pasarla al revés — y ese sentido único es lo único en toda la física que distingue el pasado del futuro. Lección 02: la flecha del tiempo.