Juegos de coordinación: creencias sobre creencias

Ya conoces la maquinaria del equilibrio de Nash (Nash equilibrium): una disposición estable en la que ningún jugador, tomando como fija la elección de los demás, desearía haber hecho otra cosa. El secreto incómodo que esa maquinaria esconde es este: muchísimos juegos tienen más de una disposición así, y los pagos por sí solos no te dirán cuál obtendrás de verdad. Algo más elige. Ese algo es aquello hacia lo que apuntaban las tres lecciones anteriores enteras: las creencias sobre las creencias. En qué equilibrio aterriza un grupo no lo deciden los números de la tabla de pagos, sino lo que cada persona cree que harán los demás — y lo que cree que los demás creen que hará ella, escalera arriba hasta el final.

Un juego de coordinación, repasado

Un juego de coordinación (coordination game) es cualquier juego en el que los jugadores intentan coincidir: les va mejor cuando eligen la misma convención que todos los demás, e importa menos qué convención gane que el hecho de que todo el mundo elija la misma. El ejemplo más limpio es por qué lado de la carretera conducir. Si todos conducen por la derecha, tu mejor jugada es conducir también por la derecha. Si todos conducen por la izquierda, conduce por la izquierda. Tanto «todos por la derecha» como «todos por la izquierda» son equilibrios de Nash: dado lo que hacen los demás, ningún conductor aislado gana nada virando al otro lado (solo conseguiría chocar).

Fíjate en lo que eso significa. Hay (al menos) dos equilibrios, son igual de buenos como destino, y nada dentro de los pagos dice cuál adoptará un país. Suecia condujo por la izquierda hasta las 5 de la madrugada del 3 de septiembre de 1967, y entonces cambió a la nación entera a la derecha en un único instante coordinado. Ambas convenciones «funcionaban» — el cambio fue pura selección de equilibrio, un país entero saltando de un equilibrio de Nash a otro en una mañana programada.

La caza del ciervo: el buque insignia

Rousseau nos dejó la miniatura perfecta. Dos cazadores se adentran en el bosque. Juntos pueden abatir un ciervo — un festín — pero solo si ambos se comprometen y aguantan en su puesto. En solitario, cualquiera puede en cambio atrapar una liebre: pequeña, pero una apuesta segura que puedes cazar tú solo, sin compañero. La pega: si esperas al ciervo y tu compañero se marcha tras una liebre, te vas a casa con nada. Es la caza del ciervo (Stag Hunt).

Pongámosle números reales. Cada celda muestra (pago de Fila, pago de Columna):

Lee las esquinas. Si ambos cazan el ciervo: 4, 4 — el mejor resultado para todos. Si ambos cazan la liebre: 2, 2 — modesto pero seguro. Si uno caza el ciervo mientras el otro atrapa una liebre: el cazador de liebres se lleva sus 2 igualmente (no necesitaba compañero), y el aspirante a cazador de ciervos se queda con 0 (aguantó esperando a un compañero que nunca llegó).

Este juego tiene dos equilibrios de Nash en estrategias puras. Compruébalos:

• (Ciervo, Ciervo) = 4, 4. Si tu compañero caza el ciervo, tu mejor respuesta es el ciervo (4 supera al 2 que obtendrías desertando hacia la liebre). Ninguno quiere moverse. Equilibrio.
• (Liebre, Liebre) = 2, 2. Si tu compañero caza la liebre, tu mejor respuesta es la liebre (2 supera al 0 que obtendrías aguantando por un ciervo tú solo). Ninguno quiere moverse. Equilibrio.

(Ciervo, Liebre) y (Liebre, Ciervo) no son equilibrios — el cazador de ciervos abandonado está sentado sobre un 0 y desea desesperadamente haber atrapado también una liebre. Así que la caza del ciervo es un juego de coordinación con la misma estructura que la carretera: dos convenciones estables, y los pagos por sí solos no te dirán a cuál llegarán dos cazadores nerviosos.

Dominante en pago frente a dominante en riesgo

Los dos equilibrios no son solo distintos — son tipos distintos de bueno, y la teoría de juegos pone nombre a los dos sabores.

Un equilibrio dominante en pago (payoff-dominant) es el que da a todo el mundo el pago más alto — el resultado que votaríais por unanimidad si pudierais firmar antes un contrato vinculante. En la caza del ciervo es (Ciervo, Ciervo) = 4, 4. Es, sin rodeos, el mejor sitio donde estar.

Un equilibrio dominante en riesgo (risk-dominant) es el más seguro bajo incertidumbre sobre lo que hará tu compañero — la elección que mejor te protege cuando no estás seguro de poder fiarte del otro jugador. En la caza del ciervo es (Liebre, Liebre). Aquí va el razonamiento, paso a paso. Supón que crees que tu compañero es una moneda al aire: 50/50 entre cazar el ciervo o la liebre.

• Si cazas el ciervo: la mitad de las veces te llevas 4, la otra mitad te llevas 0. Pago esperado = 0,5 × 4 + 0,5 × 0 = 2.
• Si cazas la liebre: te llevas 2 haga lo que haga tu compañero. Pago esperado = 2 también — pero con riesgo cero.

Justo en el 50/50 empatan en expectativa, pero la liebre no carga con ningún inconveniente. Ahora empuja tu creencia aunque sea un poco hacia «mi compañero podría largarse» — digamos que crees que solo hay un 40 % de probabilidad de que aguante por el ciervo. Entonces el ciervo rinde 0,4 × 4 = 1,6, mientras que la liebre sigue rindiendo un sólido 2. En cuanto tienes la más mínima duda, gana la liebre. Eso es lo que captura «dominante en riesgo»: es la elección racional para un jugador que no puede contar con su compañero. El ciervo es mejor si puedes confiar en él; la liebre es mejor si estás adivinando.

La idea clave: selección de equilibrio por creencias de orden superior

Aquí está el corazón de la lección. Solo cazarás el ciervo si crees que tu compañero cazará el ciervo — porque aguantar por un ciervo en solitario paga 0. Pero eso no basta. Tu compañero afronta la misma inquietud idéntica, así que solo cazará el ciervo si él cree que tú lo harás. De modo que también necesitas creer que él cree que tú cazarás el ciervo. Y él necesita creer que tú crees que él lo cree. La cadena no termina — alcanzar el buen equilibrio no requiere solo acuerdo, sino conocimiento común de la intención (common knowledge of intent): todos tienen la intención de cazar el ciervo, todos saben que todos la tienen, todos saben eso, y así escalera arriba, la de la lección 2.

Trabájalo a mano. Dos cazadores, ambos convencidos en privado de que el ciervo es el mejor negocio. El cazador A piensa: «Me encantaría el ciervo, pero no estoy seguro de que B aguante — y si B se larga, me llevo cero. Más seguro atrapar la liebre». El cazador B razona idénticamente. Resultado: ambos atrapan liebres, ambos se llevan 2, y ambos vuelven a casa habiendo dejado el 4 sobre la mesa a sabiendas. Nadie cometió un error. Dado lo que cada uno creía sobre el otro, la liebre era la jugada correcta. Al buen resultado no lo estrangularon ni unos malos pagos ni unos malos jugadores, sino un peldaño de creencia que faltaba — ninguno podía estar lo bastante seguro del otro.

Ahora cambia una sola cosa: los dos cazadores se miran a los ojos, se estrechan la mano y cada uno ve al otro comprometerse con el puesto del ciervo. Ahora no solo es verdad que ambos cazarán el ciervo — es mutuamente visible que lo harán, y visiblemente visible, y así sucesivamente. La escalera de creencias está completa. Ambos cazan el ciervo con confianza; ambos se llevan 4. Mismos pagos, mismos jugadores, resultado opuesto. Lo único que cambió fueron las creencias sobre las creencias.

Ampliando la escala: juegos de coordinación y umbrales de masa crítica

La historia de los dos cazadores se generaliza a las multitudes, y ahí se fusiona con la idea de masa crítica que ya conociste. En un juego de coordinación de n jugadores, cada persona tiene un umbral privado — el nivel de participación que necesitaría ver antes de estar dispuesta a unirse. Un manifestante cauto quizá solo se una si cree que lo harán miles; uno más audaz se une con cientos. Todo el mundo es, en la práctica, un cazador de ciervos escrutando el bosque en busca de compañeros suficientes para que comprometerse sea seguro.

Ahora el problema de las creencias se multiplica. No basta con que suficiente gente quiera actuar en privado — cada uno debe creer que suficientes otros actuarán, y creer que los otros lo creen, y así sucesivamente. Exactamente por eso era tan potente la máquina de señales públicas de la lección 3: una señal que todos presencian juntos (el grito del niño entre la multitud; una plaza pública abarrotada) no se limita a informar a individuos — fabrica el conocimiento común que permite a todos concluir que el umbral está superado en el mismo instante, y saltar juntos del equilibrio de baja participación al de alta participación. La certeza privada deja a todos congelados; el conocimiento común permite al grupo entero saltar como uno solo. (El tablero interactivo del punto de inflexión de la lección pasada es la imagen de esto — la multitud quieta hasta que una señal compartida la empuja por el borde.)

Puntos focales: cómo eligen los grupos en realidad

Si las creencias sobre las creencias seleccionan el equilibrio, entonces cualquier cosa que haga que una opción sea obviamente la esperada por todos puede actuar de volante. Thomas Schelling llamó a una opción así punto focal (focal point) (hoy a menudo «punto de Schelling»): un resultado que destaca con tanta viveza que todos esperan que todos esperen que todos lo elijan, incluso sin comunicación alguna. Un punto focal es un dispositivo de coordinación hecho de pura saliencia — funciona precisamente por ser la opción que cada persona adivina que los demás adivinarán.

El experimento clásico de Schelling: debes reunirte mañana con un desconocido en la ciudad de Nueva York, pero nunca te dijeron dónde ni cuándo — y no podéis hablar de antemano. Cualquier lugar de la ciudad es, en términos de pagos, un equilibrio de encuentro válido. Y sin embargo una proporción llamativa de personas dice lo mismo: la Grand Central Terminal, a mediodía. ¿Por qué? No porque sea dominante en pago — todos los sitios pagan lo mismo si ambos aparecéis. Gana porque es saliente: el hito obvio, y el mediodía es la hora redonda obvia. Vas allí no porque a ti te encante, sino porque esperas que la otra persona espere que tú vayas allí. El punto focal resuelve la escalera de creencias sin que se cruce una sola palabra.

Los puntos focales están por todas partes en cuanto miras: una negociación que se ajusta a una cifra redonda (100.000 €, no 97.412 €), porque ambas partes esperan que la otra espere la cifra redonda; «quedamos bajo el reloj a mediodía»; un reparto al 50/50 cuando dos personas deben dividirse un premio y no logran acordar nada más fino. En cada caso, un juego de coordinación con incontables equilibrios queda resuelto por la única opción sobre la que se apilan las creencias.

La trampa: el fallo de coordinación también es un equilibrio estable

Aquí está la trampa que atrapa a los optimistas. Es tentador pensar que, como el buen resultado es mejor para todos, los grupos derivarán hacia él de forma natural. No lo harán. El fallo de coordinación (coordination failure) — quedarse atascado en el peor equilibrio — es en sí mismo un equilibrio de Nash perfectamente estable, y escapar de él no es el trabajo individual de nadie.

Siéntate en el resultado (Liebre, Liebre) y pregunta quién debería desviarse. Tú no: cambiarte unilateralmente al ciervo te baja de 2 a 0. Tu compañero tampoco, por la razón idéntica. Dado el comportamiento de todos los demás, ninguna persona aislada puede mejorar cambiando — que es la definición exacta de un equilibrio. Así que el mal resultado no es un error que alguien esté cometiendo; es una trampa que aguanta precisamente porque cada persona está respondiendo correctamente a sus creencias sobre los demás. Por eso la dominancia en pago es una promesa, no una garantía: saber que (Ciervo, Ciervo) es mejor no hace nada por llevarte allí si las creencias no están en su sitio. Industrias, equipos y sociedades enteras pasan años sentados sobre equilibrios visiblemente peores — un estándar inferior, una norma disfuncional, un mercado que todos detestan en privado — no por estupidez, sino porque nadie puede moverse primero sin peligro.

Dominante en pago frente a dominante en riesgo, lado a lado

Repaso

La lección en una línea: los pagos deciden qué disposiciones son estables, pero las creencias sobre las creencias deciden cuál de las estables obtienes. Tenla cargada y amartillada, porque a continuación la apuntamos a la naturaleza salvaje: pánicos bancarios, revoluciones y multitudes — donde miles de personas juegan una enorme caza del ciervo, y una única señal compartida puede llevar el conjunto de congelado a imparable en una tarde.